Углов треугольника всегда. Сумма углов треугольника
Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.
Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.
Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Если
все
три
угла острые
(рис.20
),
то
это
остроугольный треугольник
.
Если один из углов прямой
( C, рис.21),
то это прямоугольный треугольник
;
стороны
a
,
b
,
образующие прямой угол, называются катетами
; сторона
c
,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой
. Если один из
углов
тупой
( B,
рис.22),
то это
тупоугольный треугольник.
Треугольник
ABC
(рис.23) -
равнобедренный
,
если две
его стороны равны (a
=
c
); эти равные стороны
называются боковыми
, третья сторона называется основанием
треугольника. Треугольник
ABC
(рис.24) –
равносторонний
,
если все
его стороны равны (a
=
b
=
c
). В
общем случае
(a
≠ b
≠ c
)
имеем
неравносторонний
треугольник.
Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний
угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним : BCD = A + B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a ) две стороны и угол между ними;
b ) два угла и прилегающая к ним сторона;
c ) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Замечательные линии и точки в треугольнике.
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .
Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).
В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .
Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,
отсюда ,
c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,
и окончательно имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,
где C – угол между сторонами a и b .
Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.
Виды по величине углов
Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:
- остроугольный, у которого все углы острые;
- прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
- тупоугольный, когда один ;
- равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
- равносторонний, имеющий все три равные стороны.
Свойства
Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:
- напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
- напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
- у любого треугольника есть два острых угла;
- внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
- сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
- внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.
Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.
Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.
Следствие
Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.
Свойство внешних углов
Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.
Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,
∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.
Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).
С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Прямоугольный треугольник
Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.
Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.
Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.
В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:
- углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
- гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы;
- катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.
Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
Сумма углов равнобедренного треугольника
Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.
Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.
От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.
Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.
Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:
- в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
- медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.
Равносторонний треугольник
Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.
Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.
Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.
Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:
- медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
- если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
- если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
- площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.
Тупоугольный треугольник
Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.
Разделы: Математика
Презентация . (Слайд 1)
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- Образовательные
:
- рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
- показать применение теоремы при решении задач.
- Воспитательные
:
- воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
- воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
- Развивающие
:
- развитие аналитического мышления,
- развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
- развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.
ХОД УРОКА
– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.
II. Устно (Слайд 2)
1) Найти на рисунках прямоугольный,
равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего
и равнобедренного треугольника.
4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)
– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы,
внутренние накрест лежащие углы, назвать их
свойства
III. Объяснение нового материала
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о
По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.
Дано: Доказать: |
Доказательство:
1. Через вершину В треугольника проведем прямую
BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать
запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.
IV. Закончи предложение. (Слайд 4)
1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой,
третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного
треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами
равнобедренного треугольника равен 1000, то углы
при основании равны …
V. Немного истории. (Слайды 5-7)
Доказательство теоремы о сумме углов
треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.) |
|
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.), |
Вдогонку ко вчерашнему:
Играем с мозаикой под сказку по геометрии:
Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:
Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!
Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла)
.
- Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?
Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.
Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.
И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,
______________________о ___________________
он так и называется: развернутый угол.
У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!
Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
идти в обратном направлении.
То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":
Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
на вектор АВ
равный длине основания АВ.
Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
=> Сумма углов треугольника равна 180°
С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.
Зато традиционное школьное:
опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых
ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
почему
сумма углов треугольника равна развернутому углу?
Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.
Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.
Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
(такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.
Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:
можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
звездные многоугольники и получать самые разные паркеты
Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
может быть составлен из двух треугольников,
соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°
Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?
Сумма углов треугольника - важная, но достаточно простая тема, которую проходят в 7 классе на геометрии. Тема состоит из теоремы, короткого доказательства и нескольких логичных следствий. Знание этой темы помогает в решении геометрических задач при последующем изучении предмета.
Теорема - чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?
Теорема гласит - если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:
- для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
- между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
- угол 1 признают равным углу А, а угол 2 - равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
- таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В - и составляет 180 градусов.
Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.
Что следует из геометрической теоремы
Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.
- Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
- Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
- Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
- Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.
Можно вывести следующее правило - в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.