Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов (пппви). Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

С выхода источника сообщений поступают сигналы, несущие информацию, а также тактовые, используемые для синхронизации работы передатчика и приемника системы передачи. Информационные сигналы имеют вид непериодической, а тактовые- периодическойпоследовательности импульсов.

Для правильной оценки возможности передачи таких импульсов по каналам связи определим их спектральный состав. Периодический сигнал в виде импульсов любой формы можно разложить в ряд Фурье согласно (7).

Для передачи по воздушным и кабельным линиям связи применяются сигналы различной формы. Выбор той или иной формы зависит от характера передаваемых сообщений, частотного спектра сигналов, частотных ивременных параметров сигналов. Большое применение в технике передачи дискретных сообщений получили сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам.

Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и

гармонических составляющих периодических прямоугольных импульсов (рисунок 4,а) длительностью и периодом. Поскольку сигнал является четной функцией времени, то в выражении (3) все четные гармонические составляющие обращаются в нуль (=0), а нечетные составляющие принимают значения:

(10)

Постоянная составляющая равна

(11)

Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Модули амплитуд спектральных составляющих последовательности прямоугольных импульсов с периодом
приведены на рис. 4,б. По оси абсцисс отложены основная частота повторения импульсов
() и частоты нечетных гармонических составляющих
,
и т.д. Огибающая спектра изменяется по закону.

При увеличении периода ,по сравнению с длительностью импульса,число гармонических составляющих в спектральном составе периодического сигнала увеличиваются. Например, для сигнала с периодом (рисунок 4,в)получаем, что постоянная составляющая равнаи

В полосе частот от нуля до частотырасполагается пять гармоническихсоставляющих (рисунок 4,г), в то время как прилишь одна.

При дальнейшем увеличении периода повторения импульсов число гармонических составляющих становится все больше и больше. В предельном случае когда
сигнал становится непериодической функцией времени, число его гармонических составляющих в полосе частот от нуля до частотыувеличивается до бесконечности; расположены они будут набесконечноблизких расстояниях по частоте;спектр непериодического сигналастановится непрерывным.

Рисунок 4

2.4 Спектр одиночного импульса

Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):

Рисунок 5

Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Для этого мысленно дополним одиночный импульс такими же импульсами, периодически следующими через некоторый интервал времени , и получим изученную ранее периодическую последовательность:

Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .

, (14)

где - целые числа.

Для периодического колебания

. (15)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим к бесконечности период повторения: . При этом, очевидно:

, (16)

Обозначим

. (17)

Величиной называется спектральная характеристика (функция) одиночного импульса (прямое преобразование Фурье). Она зависит только от временного описания импульсаи в общем виде является комплексной:

, (18) где
; (19)

; (20)

где
- модуль спектральной функции (амплитудно-частотная характеристика импульса);

- фазовый угол, фазо-частотная характеристика импульса.

Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:

Если , получим:

. (21)

Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.

Интеграл Фурье определяет импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах.

На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.

Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна

(22)

Изменяя порядок интегрирования, получим

Внутренний интеграл есть спектральная функция импульса , взятая при аргументе -, т.е. представляет собой комплексно сопряженную свеличину:

Следовательно

Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).

В этом случае условно говорят, что спектр импульса является двусторонним, т.е. размещается в полосе частот от до.

Приведенное соотношение (23), устанавливающее связь между энергией импульса (на сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной функции известно под названием равенство Парсеваля.

Оно утверждает, что энергия, заключенная в импульсе , равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.

Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования , то удвоив значение интеграла можно ввести интегрирование в пределах от 0 до:

. (24)

При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.

Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса

Она характеризует распределение энергии по частоте, и её значение на частоте равно энергии импульса, приходящейся на полосу частот, равной 1 Гц. Следовательно, энергия импульса есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот отдо.Иначе говоря, энергия равна площади, заключённой между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала и осью абсцисс.

Для оценки распределения энергии по спектру пользуются относительной интегральной функцией распределения энергии (энергетической характеристикой)

, (25)

где
- энергия импульса в заданной полосе частот от 0 до, которая характеризует долю энергии импульса, сосредоточенную в интервале частот от 0 до.

Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:

Для определения спектров для различных видов импульсной модуляции найдем спектр самого носителя. Возьмем импульсный носитель с импульсами прямоугольной формы (рис. 3.10).

Рис. 3.10 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Последовательность таких импульсов можно представить рядами Фурье.

, (3.32)

где - комплексная амплитуда k-ой гармоники;

- постоянная составляющая.

Найдем комплексные амплитуды для указанных пределов (рис. 3.10).

(3.33)

Постоянная составляющая

(3.34)

Подставим (3.33) и (3.34) в (3.32) и после преобразования получим:

(3.35)

Из выражения видно, что спектр линейчатый с огибающей, повторяющей спектр одиночного импульса (рис. 3.11). Другими словами, для импульсов одинаковой формы решетчатая функция вписывается в непрерывную S(jω).

Рис. 3.11 Спектр периодической последовательности импульсов

Постоянная составляющая А 0 /2 имеет при этом вдвое меньшее значение. Расстояние между составляющими гармоник равно основной частоте носителя ω 0 =2π/Т. Отсюда следует, что изменение периода Т следования импульсов приводит к изменению плотности дискретных составляющих, а изменение скважности Т/τ при неизменном периоде (т.е. изменение τ) вызывает сужение или расширение огибающей с сохранением ее формы, оставляя неизменным расстояние между линиями дискретного спектра. При достаточно большой плотности этих линий, когда между узлами размещается по крайней мере несколько линий спектра (Т>>τ), ширину спектра ω импульсного носителя можно считать практически такой же, как и для одиночного импульса. С приближением τ к Т эти спектры могут оказаться различными по ширине. На Рис. 3.12 изображены деформации спектра импульсного носителя при изменении Т, а на Рис. 3.13 при изменении τ для импульсов прямоугольной формы.

Рис. 3.12 Изменение характера спектра носителя при изменении

периода Т следования импульсов прямоугольной формы.

При неизменной амплитуде импульсов согласно выражению (3.25) огибающая дискретного спектра увеличивается пропорционально увеличению площади импульсов (рис. 3.13).

Следует отметить, что периодической последовательности в чистом виде не бывает поскольку любая последовательность имеет начало и конец. Степень приближения зависит от числа импульсов в последовательности. Поэтому для строгого описания импульсного носителя последний должен рассматриваться как одиночный импульс, представляющий собой пакет элементарных импульсов определенной формы. Такой сигнал имеет непрерывный спектр.

Однако по мере накопления числа импульсов в последовательности ее спектр дробится и деформируется таким образом, что все более приближается к решетчатому.

Рис. 3.13 Изменение характера спектра носителя при изменении

длительности импульса τ для импульсов прямоугольной формы.

3.7 Спектры сигналов с импульсной модуляцией

Спектры всех видов импульсных модуляций имеют сложное строение, а выводы зачастую получаются слишком громоздкими. По этой причине вопрос о спектральном составе сигналов импульсной модуляции рассмотрим, опуская в ряде случаев слишком сложные промежуточные преобразования. Такое рассмотрение позволяет показать подход к задаче, наметить путь решения и проанализировать окончательные выводы.

Найдем спектр при амплитудно–импульсной модуляции (АИМ). Для упрощения модулирующую функцию f(t) выберем, содержащую одну гармонику sint

Раскрывая это выражение и заменяя произведение синуса на косинус

. (3.36)

Из (3.36) видно, что в спектре сигнала содержится частота модулирующей функции и наивысшие гармонические составляющие kω 0 ±  с двумя боковыми спутниками. При этом наивысшие гармонические составляющие вписываются в огибающую спектра одиночного импульса носителя. На Рис. 3.14 показан спектр при амплитудно-импульсной модуляции.

Рис. 3.14 Спектр при амплитудно-импульсной модуляции.

Ширина спектра при АИМ не изменяется, так как величина амплитуд, которые нужно принимать во внимание при определении ширины, зависит только от соотношения τ /Т, а эта величина при АИМ постоянна. Если последовательность импульсов модулируется сложной функцией от  min до  max , то в спектре после модуляции появляются не спектральные линии, а полосы частот  min …  max и кω 1 ±( min … max)

Рассмотрим особенности спектра при фазо-импульсной модуляции (ФИМ), которая относится к разновидности время-импульсной модуляции (ВИМ).

При ФИМ – модуляции (Рис. 3.15) пунктирной линией показано изменение модулирующей функции во времени. Вертикальные пунктирные линии соответствуют положению переходных фронтов немодулированнойпоследовательности импульсов. Из рисунка видно, что положение импульсов (фаза) меняется относительно так называемых тактовых точек t k , соответствующих положению на оси времени передних фронтов немодулированной последовательности импульсов. Смещение одного из импульсов на время ∆t k показано на рисунке.

Рис. 3.15 Иллюстрация ФИМ – модуляции.

Рис. 3.16 Положение импульса без модуляции

и при наличии модуляции.

На рис. 3.16 пунктиром показан немодулированный импульс, расположенный симметрично относительно тактовой точки, соответствующей началу отсчета. При модуляции импульс сместится на величину
, где t 1 соответствует новому положению переднего фронта, а t 2 – новому положению заднего фронта. Будем считать, что максимальное смещение импульса ∆t K соответствует значению U(t) = 1.

Если модулирующая функция изменяется синусоидально, то для модулированного импульса моменты времени, соответствующие положению переднего и заднего фронтов будет:

(3.37)

(3.38)

В последнем выражении (3.38) значение времени равно (t-τ) поскольку задний фронт смещен относительно переднего на величину длительности импульса.

Для получения спектра при ФИМ необходимо подставить вместо τ значение t 2 -t 1 , поскольку t 1 и t 2 являются текущими координатами. Отразить смещение осевой линии можно, заменяя время t временем
. В результате подстановки этих значений в (3.35) получим:

(3.39)

Подставляя в выражение (3.39) значения t 1 и t 2 и после преобразования получим выражение, совпадающее со спектром при АИМ, только около составляющей основной частоты и каждой высшей гармоники появились не одна нижняя и одна верхняя боковые спектральные линии, а полосы боковых гармоник с частотами (kω 0 ±n).

Примерный вид спектра показан на рис. 3.17. Однако боковые спутники быстро убывают, так как в них входят Бесселевы функции.

Рис. 3.17 Спектр при фазо-импульсной модуляции.

Спектры при ШИМ и ЧИМ по своему составу оказываются такими же, как и спектр при ФИМ – модуляции.

Несмотря на то, что характер спектра при модуляции носителя изменяется и зависит от вида модуляции, его ширина остается такой же, как и для одиночного импульса и определяется в основном длительностью импульсов τ.

Передача измерительной информации в телеметрических устройствах с временным разделением каналов часто оказывается более предпочтительной, чем передача при помощи частотного разделения каналов, так как при временном разделении не требуется фильтров и, кроме того, ширина полосы пропускания не зависит от числа каналов.

В зависимости от вида модуляции в каналах (первичной) и вида модуляции несущей частоты (вторичной) существуют основные типы телеизмерительных устройств с временным разделением каналов: АИМ-ЧМ, ШИМ-ЧМ, ФИМ-АМ, ФИМ-ЧМ, КИМ-АМ, КИМ-ЧМ.

Системы с временным разделением каналов применяются для передачи измерительной информации с искусственных спутников и космических кораблей.

В данном выражении

функция sinc, как показано на рис. 2.6, достигает максимума (единицы) при у = 0и стремится к нулю при у ® ±¥, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплитудой. Через нуль она проходит в точках у = ±1, ±2, …. На рис. 2.7, а как функция отношения п/Т 0 показан амплитудный спектр последовательности импульсов |с n |, а на рис. 2.7, б изображен фазовый спектр q n . Следует отметить, что положительные и отрицательные частоты двустороннего спектра - это полезный способ математического выражения спектра; очевидно, что в реальных условиях воспроизвести можно только положительные частоты.

Отношение

Идеальная периодическая последовательность импульсов включает все гармоники, кратные собственной частоте. В системах связи часто предполагается, что значительная часть мощности или энергии узкополосного сигнала приходится на частоты от нуля до первого нуля амплитудного спектра (рис. 2.7, а ). Таким образом, в качестве меры ширины полосы последовательности импульсов часто используется величина 1/T (где Т - длительность импульса). Отметим, что ширина полосы обратно пропорциональна длительности импульса; чем короче импульсы, тем более широкая полоса с ними связана. Отметим также, что расстояние между спектральными линиями Df = 1/Т 0 обратно пропорционально периоду импульсов; при увеличении периода линии располагаются ближе друг к другу.

Таблица 2.1. Фурье-образы

x (t )	X (f )
d(t )
	d(f )
cos 2 pf 0 t	/2
sin 2 pf 0 t	/2
d(t - t 0)
	d(f - f 0)
, a >0


exp(-at )u (t ), a >0
rect(t / T )	T sinc fT
W sinc Wt	rect (f / W )

sinc x =

Таблица 2.2 Свойства преобразования Фурье f )

Свертка по частоте x 1 (t )x 2 (t ) X 1 (f )*X 2 (f )

2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5. Данный сигнал характеризуется длительностью импульса, его амплитудой и периодом. По вертикальной оси откладывается напряжение.

Рис.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Начало отсчета выберем в середине импульса. Тогда сигнал разлагается только по косинусам. Частоты гармоник равныn/T , где n - любое целое число. Амплитуды гармоник согласно (1.2.) будут равны :

так как V(t) =Е при , где - длительности импульса и V(t) =0 при , то

Эту формулу удобно записать в виде:

(2.1.)

Формула (1.5.) дает зависимость амплитуды n-ой гармоники от периода и длительности в виде непрерывной функции (функция

). Эту функцию называют огибающей спектра. Следует иметь ввиду, что физический смысл она имеет только на частотах, где существуют соответствующие гармоники. На рис. 6 приведен спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Рис.6. Спектр периодической последовательности

прямоугольных импульсов.

При построении огибающей имеем ввиду, что - является

Осцилирующей функцией частоты, а знаменатель монотонно возрастает с ростом частоты. Поэтому получается квазиосцилирующая функция с постепенным убыванием. При частоте стремящейся к нулю, к нулю стремятся одновременно и числитель и знаменатель, их отношение стремится к единице (первый классический предел). Нулевые значения огибающей возникают в точках где т. е.

Где m – целое число (кроме m

Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и