Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формулы грина, стокса, остроградского-гаусса Смотреть что такое "Формула Остроградского" в других словарях
Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина.
Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная.
Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными ,
Области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.)
L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во.
Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y).
P*dx+Q*dy =U(x.y)
Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф.
Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой.
Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0)
Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.
Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2).
Т. Для того, чтобы кр. Инт.
Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во
Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования
Зам. = отсюда получаем, что
Пов. Инт. 1-го рода.Его св. и выч.
Пусть в точках пов. S С ПЛ. S пространства oxyz опред. Непрерывная ф. f(x,y.z) .
Разобьем пов. S на n частей Si, ПЛ. КАЖДОЙ ЧАСТИ дельта Si, а диаметр Di i=1..m в каждой части Si выберем произвольную точку Mi от (xi, yi, zi) и cоставим сумму . Сумма называется интегральной для ф. f(x,y.z) по поверхности S если при интегр. Сумма имеет предел, то он наз. Пов интегралом 1-го рода от ф. f(x,y.z) по поверхности S и обозначается =
Свойства пов. Инт.
2) 3) S=s1+s2, Тогда 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .
Выч пов инт 1-го рода сводиться к вычисленею2-го инт по обл Д, кот явл проекцией пов S на плоскость oxy, если пов s задана Ур z=z(x,y) то по винт равен .
Если S задано в виде y=y(x, z), то …
Пов инт 2-го рода
Пусть задана двусторонняя пов, после обхода такой пов не пересекая ее границы направление нормали к ней не меняется. Односторонныя пов: является Лист Мебиуса. Пусть в точке рассматриваемой двусторонней поверхности S в прстранстве oxyz определена ф. F(x,y,z). Выбронную сторону поверхности разбиваем на части Si i=1..m и проектируем их на корд плоскости. При этом пл пов ,берем со знаком «+», если выбрана верхняя сторона пов (если нормаль образует острый угол с oz, выб со зн «–» если выбрана нижняя сторона пов(ТУПОЙ УГОЛ)). Составим инт сумму Где – пл пов Si –части при если он сущ и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек в них, наз по инт 2-ого рода от ф. f(x,y,z) по пов s и обозначается: по опред пов интеграл будет = пределу интегр суммы. Аналогично опред инт по пов s
, тогда общим видоим пов инт 2-го рода служит инт где P, Q, R непрерывные функции опред в точках двусторонней пов s. Если S замкнутая пов, то по инт по внешней стороне обозначается и по внутренней стороне . ds. Где ds элемент площади пов S , а cos , cos cos напр cos нармали n. Выбранной стороны пов.
Формула Остроградского - Грина
Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.
Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.
Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и
Тогда имеет место формула
где С - замкнутый контур области D.
Это формула Остроградского - Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D 1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D 2).
Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:
Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):
1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру
где С - любой замкнутый контур в D;
2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.
3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:
Докажем по схеме.
Докажем, что из.
Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .
Докажем, что из.
Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути
Рассмотрим функцию
Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что
Зададим частный прирост
х F (x,y)= F(х + х, у) -F (x,y)= = == =
(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x (всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6). Докажем, что из. Дана формула dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Очевидно, что = Р(х,у). Тогда По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что Докажем, что из 41. Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D 1 . Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина: В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е. Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3): дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D. Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4): Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной. Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры. Пусть функции непрерывны в области D
ÌOxy
и на ее границе Г
; область D
– связная; Г
– кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина
: здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г
обходится против часовой стрелки. Пусть Т
– кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г
. Если функции P
(x
,y
,z
), Q
(x
,y
,z
), R
(x
,y
,z
) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т
и границы Г
, то имеет место формула Стокса
: (2.23) слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т
, которая остается слева при обходе кривой Г
. Если связная область W
ÌOxyz
ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т
, а функции P
(x
,y
,z
), Q
(x
,y
,z
), R
(x
,y
,z
) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W
и Т
, то имеет место формула Остроградского-Гаусса
: (2.24) слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т
; справа – тройной интеграл по области W
. Пример 1.
Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г
: , начиная от оси Ox
, по часовой стрелке (рис. 2.18). Решение.
Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P
(x
,y
)=x
-y
, Q
(x
,y
)=x
+y
. Имеем: Пример 2.
Вычислить интеграл , если Г
есть окружность в плоскости z
=2, обходимая против часовой стрелки. Решение.
По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т
: Итак, учитывая, что , имеем: Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D
ÌOxy
, на который проектировался круг Т
; D
: . Перейдем к полярным координатам: x
=r
cosj, y
=r
sinj, jÎ, r
Î. В итоге: Пример 3.
Найти поток П
Т
пирамиды W
: (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности. Решение.
Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W
-пирамиде: Пример 4.
Найти поток П
векторного поля через полную поверхность T
пирамиды W
: ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности. Решение.
Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V
– объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды). , Пусть π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D -
односвязная область на π (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная в D,
ограничивает область, все точки которой также D
).
Пусть D
удовлетворяет условиям: 1) граница С
области D
является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают D
не более чем в 2 точках. Пусть t -
С,
согласованный с , т. е. положительное направление обхода кривой С
t
с направлением t
С
Т1 (формула Грина).
Пусть
а
- 1), 2), направлению непрерывна в
. Тогда справедлива формула
Справа - циркуляция векторного поля
по кривой С
, слева - поток векторного поля через D.
Док-во.
Все входящие в (1) функции непрерывны => оба интеграла . Интегралы слева и справа в (1) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. и инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора декартовой системы координат => достаточно доказать (1) в какой-то одной специально выбранной системе. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz
так, чтобы выполнялось условие 2), и Оz
направим вдоль . Т.к векторное поле плоское, то => Для плоской области и , где l
- длина дуги С
, выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С
=> Для доказательства формулы Грина достаточно доказать 2 равенства: Пусть прямая, параллельная оси Оу,
пересекает С
в точках .
Пусть -
наименьшая и наибольшая абсциссы точек области , кривая С
1 соединяет с , а кривая С
2 - с и , ориентированы согласованно с C => по формуле сведения двойного интеграла к повторному: Аналогично вычисляется интеграл J
. З1
. Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1"): Ох"у";
а
имеет координаты Р"
и Q
", то Якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю = 1, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат => Пусть D -
односвязная область в (т. е. для кусочно гладкой замкнутой кривой C
, расположенной в D,
можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность G
, расположенную в D,
имеющую границей С
),
поверхность S -
ее граница, удовлетворяющая условиям: 1) S
- кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек; 2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат прямая, параллельная этой оси, будет пересекать S
не более чем в 2 точках. Пусть n
- единичный вектор внешней нормали к S
. Т2 (формула Остроградского - Гаусса
). Пусть
а
- векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям
1), 2), и такое, что производная по
направлению непрерывна в
. Тогда
Cправа - поток векторного поля
через поверхность S
, слева - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D => Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D равен потоку векторного поля
через поверхность S - границу этой области.
Док-во
Все входящие в (2) функции непрерывны => оба интеграла . Формула (2) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. все входящие в нее величины - инварианты => достаточно доказать (2) при каком-то 1 выборе декартовой системы. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz
так,чтобы выполнялось условие 2) ; пусть => учитывая : Надо док-ть: Докажем для L,
другие ан-но. Пусть D"-
проекция D
на плоскость Оху.
Через граничные точки D"
проведем прямые, параллельные Оz.
Каждая из них пересекается с S
лишь в 1 точке. Множество этих точек разделяет S
на 2 части: . Если провести прямую из внутренней точки D" ,
параллельную Оz,
то она пересечет S
в 2 точках: и .
и кусочно и непрерывно дифф-мые функции в D".
По формуле сведения тройного интеграла к повторному интегралу: Воспользовались тем, что , и соотношением справедливым, т.к. внешняя нормаль к образует тупой угол с Оz
(=> ). З2
. Из док-ва => формулу (2) можно записать: Док-во ан-но З1. Формула Стокса.
Пусть S
односвязная (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная на S,
ограничивает мн-о, все точки которого S
) поверхность в ,
удовлетворяющая условиям: 1) S
- кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С
; 2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S
однозначно проектировалась на из 3 координатных плоскостей. Пусть n
- единичный вектор нормали к S
, t
- единичный вектор касательной к C
, согласованный с n,
т. е. положительное направление обхода кривой С
совпадает в точке приложения вектора t
с направлением t
, и если смотреть с конца , то контур С
ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки). Т (формула Стокса).
Пусть
а
- векторное поле, непрерывно дифф-мое в некоторой окрестности поверхности S
(т. е. на некотором открытом мн-ве в
, содержащем S). Тогда
Или: Поток вектора
через поверхность S равен циркуляции вектора
а
по замкнутому контуру С.
Док-во
. В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют. Формула (1) инвариантна относительно выбора базиса => достаточно доказать при каком-то одном выборе базиса. Выберем прямоугольную декартову систему координат Охуz
так, чтобы S
однозначно проектировалась на все три координатные плоскости. Пусть Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нормали образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для в декартовой системе координат Достаточно доказать: S
- кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху.
Пусть D -
ее проекция, Г - проекция С
на плоскость Оху =>
дифф-мая ф-я , которая задает уравнение поверхности S
. При этом и поверхностный интеграл по S
= двойному интегралу по D
. По формуле Грина* : З1
. δ > 0 такое, что для
части
Ф S размера < δ
(ее можно расположить в сфере радиуса δ/2) можно так выбрать декартову координатную систему, что
Ф однозначно проектируется на все координатные плоскости.
Пусть -
фиксированная точка S
. Проведем касательную плоскость через ,пусть - вектор единичной нормали поверхности в .
Выберем прямоугольную систему координат, чтобы составлял острые углы с осями. Т.к. поле нормалей непрерывно, то окрестность такая, что все нормали в точках этой окрестности образуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ/2 точки ,
которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. Можно выбрать универсальное, не зависящее от число δ > 0. Пусть такого δ => для каждого можно указать часть поверхности S
, размеры которой < и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы координат. Выберем в каждой точку ,
из полученной послед-сти выберем послед-сть, сходящуюся к некоторой М
S
. У М
окрестность, однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого номера п
содержит часть , которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости => противоречие с выбором . Разобьем S
на конечное число гладких частей , размер каждой из которых < δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плоскости некоторой декартовой системы координат => формула Стокса верна для каждой . Просуммируем левые и правые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сократятся => слева получим интеграл по поверхности от , а справа - интеграл по границе С
от , т. е. формулу Стокса для общего случая => формулы Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2). З 2
. Формула Стокса верна для поверхностей S
, допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) поверхностей. Док-во: просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кривым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся. З3
. Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1"): Интегралы слева и справа в (1") инвариантны, т.к. значения подынтегральных выражений равны соответственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1") тоже не меняется при переходе к новой системе Ох"у" z";
если в новом базисе векторное поле а
имеет координаты Р"
, Q
" и R"
, то Якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю = 1, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1") не меняют своего значения и формы. *: π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D -
односвязная область на π.
Пусть D
удовлетворяет условиям: 1) граница С
области D
является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают D
не более чем в 2 точках. Пусть t -
единичный вектор касательной к кривой С,
согласованный с . Т1 (формула Грина).
Пусть
а
- векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям
1), 2), и такое, что его производная по
направлению непрерывна в
. Тогда справедлива формула
Связь
между двойным интегралом по области D
и криволинейным интегралом по границе
L
этой области устанавливает формула
Остроградского – Грина, которая широко
применяется в математическом анализе. Пусть
на плоскости Оху
задана область D
,
ограниченная кривой, пересекающейся
с прямыми, параллельными координатными
осями не более чем в двух точках, т.е.
область D
– правильная. Теорема 10.2.
Если
функции P
(x
;
y
)
и Q
(x
;
y
)
непрерывны вместе со своими частными
производными
ив
областиD
,
то имеет место формула (10.8) где L
– граница области D
и интегрирование вдоль кривой L
производится в положительном направлении
(т.е. при движении вдоль кривой, область
D
остается слева). Формула
(10.8) называется формулой Остроградского
– Грина. Пусть Или
согласно формуле (10.6),
Рис.
8. Аналогично
доказывается, что
Если
из равенства (10.10) вычесть равенство
(10.9), то получим формулу (10.8). Замечание.
Формула (10.8) справедлива и для произвольной
области, которую можно разбить на
конечное число правильных областей. Пример
10.3.
С помощью формулы Остроградского –
Грина вычислить где
L
– контур прямоугольника с вершинами
А
(3;2
),
В
(6;2
),
С
(6;4
),
D
(3;4
). ○ Решение:
На
рисунке 9 изображен контур интегрирования.
Поскольку
П Если
же его значения по всевозможным кривым
AB
одинаковы, то говорят, что интеграл I
не зависит от вида пути интегрирования. Рис.
10. В этом случае для интеграла
I
достаточно отметить лишь его начальную
точку A
(x
1
;
y
1
)
и его конечную точку B
(x
2
;
y
2
)
пути. Записывают: (10.11) Каковы
же условия, при которых криволинейный
интеграл II
рода не зависел от вида пути интегрирования? Теорема 10.3.
Для
того, что бы криволинейный интеграл
Докажем
достаточность условия (10.12). Рассмотрим
произвольный замкнутый круг AmBnA
(или L
)
в области D
(см. рис. 11). Для него имеет место формула
Остроградского – Грина (10.8) В силу
условия (10.12) имеем:
,
т.е. Полученное
равенство означает, что криволинейный
интеграл не зависит о пути интегрирования. Рис.11.
В ходе доказательства
теоремы получено, что если выполняется
условие
=,
то интеграл по замкнутому кругу равен
нулю:
Верно
и обратное утверждение. Следствие 10.1.
Если
выполняется условие (10.12), то подынтегральное
выражение
является
полным дифференциалом некоторой функцииu
=
u
(x
;
y
),
т.е. Тогда (см. (10.11)) Формула
(10.14) называется обобщенной формулой
Ньютона – Лейбница для криволинейного
интеграла от полного дифференциала. Следствие 10.2.
Если подынтегральное выражение Pdx
+
Qdy
есть полный дифференциал и путь
интегрирования L
замкнутый, то
Замечания:
В
качестве начальной точки (x
0 ;
y
0)
обычно берут точку (0;0) – начало координат
(см. пример 10.5). =
,=,=; Пример
10.4.
Найти
Решение:
Здесь P
=
y
,
Q
=
x
,
==
1.
Согласно вышеприведенной теореме,
интеграл не зависит от пути интегрирования.
В качестве пути интегрирования можно
взять отрезок прямой y
=
x
,
дугу параболы y
=
x
2
и т. д. или воспользоваться формулой
(10.14). Так как ydx
+ xdy = d(xy)
,
то Пример
10.5.
Убедиться, что выражение
представляет
собой полный дифференциал функцииU
(x
;
y
)
и найти ее. Решение:
Для того чтобы указанное выражение
являлось полным дифференциалом,
необходимо выполнение условий (10.12): Условия выполнены, следовательно,
А так как полный дифференциал имеет
вид , то
верны соотношения Интегрируем
по х
первое из уравнений, считая у
постоянным, при этом вместо постоянно
интегрирования следует поставить
Подставляя
полученное выражение во второе уравнение
(10.16), найдем
Таким
образом,
Отметим,
что функцию U
проще найти, используя формулу (10.15).
,
где S D
– площадь круга D
: , равная . В итоге: – искомая работа силы.
T
:
.
так как проекция граней на плоскость Oxy
имеет нулевую площадь (рис. 2.21),
-
уравнение дугиAnB
,
а
- уравнение дугиAmB
(см. рис. 8). Найдем сначала
.По
правилу вычисления двойного интеграла,
имеем:
(10.10)
по
формуле (10.8) имеем:10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
устьA
(x
1 ;
y
1)
и B
(x
2 ;
y
2)
– две произвольные точки односвязной
области D
плоскости Оху
(плоскость D
называется односвязной
,
если для любого замкнутого контура,
лежащего в этой области, ограниченная
им часть плоскости целиком принадлежит
D
(область без «дыр»)). Точки А
и В
можно соединить различными линиями
(на рис. 10 это L
1 ,
L
2
и L
3).
По каждой из этих кривых интеграл
имеет,
вообще говоря, свое значение.
не
зависел от пути интегрирования в
односвязной областиD
,
в которой функции P
(x
;
y
),
Q
(x
;
y
)
непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно,
что бы в каждой точке этой области
выполнялось условие=(10.12)
,
или
.
Учитывая свойства криволинейного
интеграла, имеем:
.
(10.16)
-
неизвестную функцию зависящую только
оту
:
: