Уравнения в высшей математике.Рациональные корни многочленов. Схема Горнера

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x ) , где Q (x ) − многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2) . Для поиска вида многочлена Q (x ) воспользуемся так называемой схемой Горнера . Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

В прямоугольную таблицу 2 × (n + 2) , где n − степень многочлена, (см. рис.) в верхнюю строчку выписываются подряд коэффициенты многочлена (левый верхний угол при этом оставляют свободным). В нижний левый угол записывают число − корень многочлена (или число x 0 , если мы хотим разделить на двучлен (x – x 0)), в нашем примере это число 2. Далее вся нижняя строчка таблицы заполняется по следующему правилу.

Во вторую клетку нижней строки «сносится» число из клетки над ней, то есть 1. Затем поступают так. Корень уравнения (число 2) умножают на последнее написанное число (1) и складывают результат с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, в нашем примере имеем:

Результат пишем в свободную клетку под −2. Далее поступаем аналогично:
Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак:

Иррациона́льное число́ - это вещественное число , которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби , где - целые числа , . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби , при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно , является множеством второй категории .

Примеры

Иррациональные числа - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число , а - натуральное число . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
• Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y .
• Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
• b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f (x )Q [x ] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f (x )Z [x ] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.

Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.

Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если – рациональный корень многочлена f (x ) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 с целыми коэффициентами, причем (p , q ) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а 0 , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а 0 .

Теорема 6.2. Если Q ( где (p , q ) = 1) является рациональным корнем многочлена f (x ) с целыми коэффициентами, то
–целые числа.

Пример. Найтивсе рациональные корнимногочлена

f (x ) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 х+ 1.

1. По теореме 6.1: если – рациональный корень многочлена f (x ), (где(p , q ) = 1), то a 0 = 1 p , a n = 6 q . Поэтому p { 1}, q{1, 2, 3, 6}, значит,

.

2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f (x ) тогда и только тогда, когда f (x ) делится на (х – а ).

Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f (x ) можно воспользоваться схемой Горнера:

f (1) = 60,f (–1) = 120, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочленаf (x ).

3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел
, воспользуемся теоремой 6.2. Если выраженияили
принимает целые значения для соответствующих значений числителяp и знаменателя q , то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.

=
=

4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа
корнямиf (x ). Вначале разделим f (x ) на (х – ).

В результате имеем: f (x ) = (х – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2) и – кореньf (x ). Частное q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).

Так как q (–) = 30, то (–) не является корнем многочленаq (x ), а значит и многочлена f (x ).

Наконец, разделим многочлен q (x ) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 х – 2 на (х – ).

Получили: q () = 0, т.е.– кореньq (x ), а значит, – кореньf (x ). Таким образом, многочлен f (x ) имеет два рациональных корня: и.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.

Примеры. 1.t =
.

Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

t =
. Выражение – неполный квадрат разности чисела =
иb = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а 3 – b 3 = (а + b ) · (a 2 – ab + b 2 ), можно определить множитель m = (а + b ) =
+ 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дробиt , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t . Таким образом,

В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.

Определение 6.1. Число z называется алгебраическим над полем F , если существует многочлен f (x ) F [x ], корнем которого является z , в противном случае число z называется трансцендентным над полем F .

Определение 6.2. Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p (x )F [x ], корнем которого является число z .

Пример. Покажем, что числоz =
является алгебраическим над полемQ и найдем его степень.

Найдем неприводимый над полем Q многочлен p (х ), корнем которого является x =
. Возведем обе части равенстваx =
в четвертую степень, получимх 4 = 2 или х 4 – 2 = 0. Итак, p (х ) = х 4 – 2, а степень числа z равна deg p (х ) = 4.

Теорема 6.3 (об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби). Пусть z – алгебраическое число над полем F степени n . Выражение вида t = ,где f (x ), (x )F [x ], (z)0

единственным образом может быть представлено в виде:

t = с n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F .

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.

Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

t =

1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х ) = х 2 – х +1 при х =
. В предыдущем примере показано, что
– алгебраическое число над полемQ степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p (х ) = х 4 – 2.

2. Найдем линейное разложение НОД ((х ), p (x )) с помощью алгоритма Евклида.

_ x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x )

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x )

_–3x + 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x )

Итак, НОД ((х ), p (x )) = r 2 = 7. Найдем его линейное разложение.

Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.

p (x ) = (x ) · q 1 (x ) + r 1 (x )
r 1 (x ) = p (x ) – (x ) · q 1 (x )

Многочленом от переменной х называется выражение вида: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, где n - натуральное число; аn, an-1, . . . , a 1, a 0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 х, a 0 называются членами многочлена, а 0 - свободным членом. an - коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т. д. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым. например, многочлен 0 х2+0 х+0 - нулевой. Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов πολι - много и νομχ - член.

Многочлен от одной переменной х обозначается: . f (x), g (x), h (x) и т. д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =x 4+2 x 3+ (-3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Многочлен h(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x), если он делит f(x), g(x) и каждый их общий делитель. 2. Многочлен f(x) с коэффициентами из поля Р степени п называется приводимым над полем Р, если существуют многочлены h(x), g(x) Î P[x] степени меньшей п такие, что f(x) = h(x)g(x).

Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и an≠ 0, то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут ст. f (x) =n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена. Например, если f (x) =5 x 4 -2 x+3, то ст. f (x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5 х4. Степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля. Многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля. , нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при которой равен нулю.

Равенство многочленов. Два многочлена f (x) и g (x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (равны их соответствующие коэффициенты). f (x) =g (x). Например, многочлены f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 и g(x) =2 x 23 x+1 не равны, у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно принятым условностям мы можем записать: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. В этом случае: f (x) ≠g (x). Не равны и многочлены: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, так как у них коэффициенты при х различны.

А вот многочлены f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 и g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 равны тогда и только тогда, когда а=3, а b= -2. Пусть даны многочлен f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и некоторое число с. Число f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 называется значением многочлена f (x) при х=с. Таким образом, чтобы найти f (c), в многочлен вместо х нужно подставить с и провести необходимые вычисления. Например, если f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, то f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Число с называется корнем многочлена f (x), если f (c) =0.

Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f (x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f (x) - нулевой)" и "значение многочлена f (x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f (x) =x 2 -1 не равен нулю, у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. f (x) ≠ 0, а f (1) =0. Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f (c) = g (c) для каждого числа с.

Операции над многочленами Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Пусть даны два многочлена f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, и g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Ясно, что ст. f(x)=n, а ст. g (x) =m. Если перемножить эти два многочлена, получится многочлен вида f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Так как an≠ 0 и bn≠ 0, то anbm≠ 0, а значит, ст. (f(x)g(x))=m+n. Отсюда следует важное утверждение.

Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x). Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей. Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей. Степени многочленов f (x), g (x) и f (x) ±g (x) связаны следующим соотношением: ст. (f (x) ±g (x)) ≤ max {ст. f (x), ст. g (x)}.

Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется. многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x). Например, если f(x)=x 2+2 x-1 и g(x) =2 x+3, то f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2+2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+3=2 x 2+4 x+1. Видно, что f (g (x)) ≠g (f (x)), т. е. суперпозиция многочленов f (x), g (x) и суперпозиция многочленов g (x), f (x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.

, Алгоритм деления с остатком Для любых f(x), g(x) существуют q(x) (частное) и r(x) (остаток), такие, что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x)

Делители многочлена Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x)=g(x)q(x). Наибольший общий делитель двух многочленов Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x) Тогда - наибольший общий делитель f(x) и g(x).

Сократить дробь Решение: Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 – х2 – 3 х – 2 2) х3 + 7 х2 + 14 х + 8 х3 + 3 х2 + 2 х – х2 – 3 х – 2 –х– 4 4 х2 + 12 х + 8 0 Следовательно, многочлен (– х2 – 3 х – 2) является НОД числителя и знаменателя данной дроби. Результат деления знаменателя на этот многочлен известен.

Найдем результат деления числителя. x 3 + 6 х2 + 11 х + 6 – х2 – 3 х – 2 х3 + 3 х2 + 2 х –х– 3 3 х2 + 9 х + 6 0 Таким образом, Ответ:

Схема Горнера Разделить с остатком многочлен f(x) на ненулевой многочлен g(x) - это значит представить f(x) в виде f(x)=g(x) s(x)+r(x), где s(x) и r(x) -многочлены и либо r(x)=0, либо ст. r(x)

Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0. Напомним, что требуется найти неполное частное, т. е. его коэффициенты, и остаток. Выразим их из полученных равенств: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Мы нашли формулы, по которым можно вычислять коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.

Таблица 1. Коэффициенты f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коэффициенты s (x) остаток В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c. Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент bn-1, который, как мы установили, равен an.

Коэффициент, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т. е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой. Разделим, например, многочлен f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера. При заполнении первой строки этой схемы нельзя забывать о нулевых коэффициентах многочлена. Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x).

Итак, выполняем деление по схеме Горнера: Таблица 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Получим неполное частное s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 и остаток r=33. заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33. Разделим теперь тот же многочлен f (x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим: Таблица 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В результате имеем f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) +21.

Корни многочленов Пусть с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x). Тогда f (x) делится на х-с1, т. е. f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Положим в этом равенстве х=с2. Получим f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) и, так f (c 2) =0, то (с2 -с1) s 1 (c 2) =0. Но с2≠с1, т. е. с2 -с1≠ 0, а значит, s 1 (c 2) =0. Таким образом, с2 - корень многочлена s 1 (x). Отсюда следует, что s 1 (x) делится на х-с2, т. е. s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Подставим полученное выражение для s 1 (x) в равенство f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Имеем f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Положив в последнем равенстве х=с3 с учетом того, что f (c 3) =0, с3≠с1, с3≠с2, получим, что с3 - корень многочлена s 2 (x). Значит, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), а тогда f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) и т. д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с4, с5, …, сm, мы, наконец, получим f (x) = (x-c 1) (x-c 2) … (х-сm) sm (x), т. е. доказано формулируемое ниже утверждение.

Если с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x). Отсюда вытекает важное следствие. Если с1, с2, …, сm- различные корни многочлена f(x), то f(x) делится на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm). Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень. Действительно, если f(x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f(x) ≥ 0. Пусть теперь f(x) имеет m корней с1, с2, …, сm, причем все они различны. Тогда, по только что доказанному f (x) делится на (х-с1) (х -с2)…(х-сm). В таком случае ст. f(x)≥ст. ((х-с1) (х-с2)…(х-сm))= ст. (х-с1)+ст. (х-с2)+…+ст. (х-сm)=m, т. е. ст. f(x)≥m, а m - это число корней рассматриваемого многочлена. А вот у нулевого многочлена бесконечно много корней, ведь его значение для любого х равно 0. В частности, по этой причине ему и не предписывают никакой определенной степени. Из только что доказанной теоремы следует такое утверждение.

Если многочлен f (x) не является многочленом степени, большей, чем n, и имеет более, чем n корней, то f (x) - нулевой многочлен. В самом деле, из условий этого утверждения следует, что -либо f (x) - нулевой многочлен, либо ст. f (x) ≤n. Если предположить, что многочлен f (x) не нулевой, то ст. f (x) ≤n, и тогда f (x) имеет не более, чем n корней. Приходим к противоречию. Значит, f (x) - ненулевой многочлен. Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены степени, не большей, чем n. Если эти многочлены принимают одинаковые значения при n+1 значении переменной х, то f (x) =g (x).

Для доказательства рассмотрим многочлен h (x) =f (x) - g (x). Ясно, что - либо h (x) =0, либо ст. h (x) ≤n, т. е. h (x) не является многочленом степени, большей, чем n. Пусть теперь число с такое, что f (c) =g (c). Тогда h (c) = f (c) - g (c) =0, т. е. с - корень многочлена h (x). Следовательно, многочлен h (x) имеет n+1 корень, а когда, как только что доказано, h (x) =0, т. е. f (x) =g (x). Если же f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при всех значениях переменной х, то эти многочлены равны

Кратные корни многочлена Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т. е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко. Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х -с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

Если многочлен f(x) представим в виде f(x)=(x-c)mg(x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g(x) делится на х-с. В самом деле, если g(x) делится на х-с, т. е. g(x)=(x-c)s(x), то f(x)=(x-c) m+1 s(x), а значит, f(x) делится на (х-с) m+1. Обратно, если f(x)делится на (х-с) m+1, то f(x)=(x-c) m+1 s(x). Тогда (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) и после сокращения на (х-с)m получим g(x)=(x-c)s(x). Отсюда следует, что g(x) делится на х-с.

Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем: Таблица 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Как видим, остаток при делении f(x) на х-2 равен 0, т. е. делится на х-2. Значит, 2 -корень этого многочлена. Кроме того, мы получили, что f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Теперь выясним, является ли f(x) на (х-2) 2. Это зависит, как мы только что доказали, от делимости многочлена g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12 на х-2.

Снова воспользуемся схемой Горнера: Таблица 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Получили, что g(x) делится на х-2 и g(x)=(x-2)(x 3 -x 2 -5 x+6). Тогда f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Итак, f(x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f(x) на (x-2)3. Для этого проверим, делится ли h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 на х-2: Таблица 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Получим, что h(x) делится на х-2, а значит, f(x) делится на (х-2) 3, и f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Далее аналогично проверяем, делится ли f(x) на (х-2)4, т. е. делится ли s(x)=x 2+x-3 на х-2: Таблица 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Находим, что остаток при делении s(x) на х-2 равен 3, т. е. s(x) не делится на х-2. Значит, f(x) не делится на (х-2) 4. Таким образом, f(x) делится на (х-2)3, но не делится на (х-2)4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f(x).

Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид: Таблица 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т. д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3.

Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2? Так кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем: Таблица 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a а+4 а+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Рациональные корни многочлена Если несократимая дробь l/m (l, m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1. В самом деле, если f(x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, где an, an-1, . . . , a 1, a 0 - целые числа, то f(l/m) =0, т. е. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Умножим обе части этого равенства на mn. Получим anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Отсюда следует anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т. е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a 0=8, а m - делитель старшего коэффициента a 4=6. при этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби. Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. следующая теорема упрощает эту работу. Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km≠ 0.

Для доказательства этой теоремы разделим f(x) на x-k с остатком. Получим f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Так как f(x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s(x), а f(k) - целое число. Пусть s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тогда f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ …+b 1 x+b 0). Положим в этом равенстве 1 x=l/m. Учитывая, что f(l/m)=0, получаем f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+…+b 1(l/m)+b 0). Умножим обе части последнего равенства на mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Отсюда следует, что целое число mnf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mn и l-km тоже взаимно просты, а значит, f(k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков рациональных корней. Применим указанную теорему при k=1 и k=-1, т. е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f(x), то f(1)/(l-m), а f(-1)/(l+m). Легко находим, что в нашем случае f(1)=-5, а f(-1)= -15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ± 1. Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь lm=-(1/2)=(-1)/2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь -1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера: Таблица 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Видим, что 1/2 - корень многочлена f(x) и f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Ясно, что все другие корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, а значит, дальнейшую проверку "кандидатов" в корни можно проводить уже для этого многочлена. Находим: Таблица 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Получили, что остаток при делении g(x) на x-2/3 равен - 80/9, т. е. 2/3 не является корнем многочлена g(x), а значит, и f(x). Далее находим, что - 2/3 - корень многочлена g(x) и g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Тогда f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x 2+2 x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются. Итак, многочлен f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3. Этот метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: - 1±√ 5 (это корни многочлена х2+2 х-4). многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f(x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=± 1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f(1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f(1) =0, т. е. 1 - корень, а тогда f(1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f(x) на x-1, т. е. получить f(x)=(x-1)s(x), и проводить испытания для многочлена s(x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f(x)-x 1=1 - мы уже нашли. Если проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его кратность. Если она равна, скажем, k, то f(x)=(x-l/m) ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s(x), что сокращает вычисления.

Решение. Выполнив замену переменной y=2 x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4. Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля. То есть, y=-5 является корнем следовательно, является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена на двучлен

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен Следовательно,

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложени многочлена на множители Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители. К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля для коэффициентов бинома Ньютона. Пример. Разложить многочлен на множители.

Решение. Преобразуем выражение к виду: Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть Следовательно, Теперь применим формулу разности квадратов: Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов

Формулы Виета выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням. Формулировка Если -корни многочлена то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно

Иначе говоря ak равно сумме всех возможных произведений из k корней. Если старший коэффициент многочлена, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a 0. В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a 0 = 1 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем формулы Виета.

Решить уравнение x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Решение. Обозначим y = x 3, тогда исходное уравнение принимает вид y 2 – 5 y + 4 = 0, решив которое получаем Y 1 = 1; Y 2 = 4. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений: x 3 = 1 или x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 или X 2 = Ответ: 1;

Теорема Безу Определение 1. Элемент называется корнем многочлена, если f(c)=0. Теорема Безу. Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a. Доказательство. В силу алгоритма деления f(x)=(xc)q(x)+r(x), где или r(x)=0, или, и поэтому. Итак, f(x)=(x-c)q(x)+r, следовательно, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, и поэтому f(x)=(xc)q(x)+f(c).

Следствие 1: Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b равен значению этого полинома при x = -b/a, т. е. R=Pn (-b/a). Следствие 2: Если число a является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка. Следствие 3: Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 , … , an, то он делится на произведение (x-a 1) … (x-an) без остатка. Следствие 4: Многочлен степени n имеет не более n различных корней. Следствие 5: Для любого многочлена P(x) и числа a разность (P(x)-P(a)) делится без остатка на двучлен (x-a). Следствие 6: Число a является корнем многочлена P(x) степени не ниже первой тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x-a) без остатка.

Разложение рациональной дроби на простейшие Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Пусть дана правильная рациональная дробь (1).

Теорема 1. Пусть х=а есть корень знаменателя краткости k, т. е. , где f(a)≠ 0, тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: (2) , где А- постоянная не равная нулю, а F 1(x)- многочлен, степень которого ниже степени знаменателя

где многочлен, степень которого ниже степени знаменателя. И аналогично предыдущей формуле можно получить: (5)

Если многочлен

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание . Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , откуда

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Так как числа a 0 , a 1 ,…a n-1 , an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, a n делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.

2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c+a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена a n .

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n является x = c , такое, что f (c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена , то многочлен можно записать в виде: f(x)=(x−c)q(x) , где это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , то при делении f (x) на g (x) частное q(x) имеет вид q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , где b 0 =a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Остаток r находится по формуле r=c b n − 1 +a n

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3