Высота треугольника. Визуальный гид (2020)

Треугольники.

Основные понятия.

Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Высота треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:


Медиана треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).


Длину медианы можно вычислить по формуле:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

где m a - медиана, проведенная к стороне а .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

c
m c = —
2

где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с).

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине

Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .

Две другие стороны называются катетами .


Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.

Рис.14а

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3.

2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2.

3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5.

4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2.

5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c)

6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ).


Признаки равенства треугольников .

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).


Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin x .

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x .

Тангенс острого угла x - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg x .

Котангенс острого угла x - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg x .

Правила:

Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :

b = c · sin x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :

a = c · cos x

Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :

b = a · tg x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :

a = b · ctg x .


Для любого острого угла x :

sin (90° - x ) = cos x

cos (90° - x ) = sin x


Треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс

    ✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс

    ✪ 7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    ✪ Медиана, биссектриса, высота треугольника | Геометрия

    ✪ Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

    Субтитры

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

  • Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности .
  • Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом , центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник .
  • Центр описанной ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
  • Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника .
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
  • Если О - центр описанной окружности ΔABC, то O H → = O A → + O B → + O C → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}} ,
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
  • Теорема Гамильтона . Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
  • Следствия теоремы Гамильтона :
    • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона , имеющих равные радиусы описанных окружностей.
    • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
  • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном - вне треугольника; в прямоугольном - в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник - равнобедренный (теорема Штейнера - Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
  • У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника

  • Основания высот образуют так называемый ортотреугольник , обладающий собственными свойствами.
  • Описанная около ортотреугольника окружность - окружность Эйлера . На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  • Другая формулировка последнего свойства:
    • Теорема Эйлера для окружности девяти точек . Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек ).
  • Теорема . В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
  • Теорема . В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний ), то его внутренняя биссектриса , проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности , проведенному из той же самой вершины.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • В прямоугольном треугольнике высота , проведенная из вершины прямого угла , разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , {\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,}
  • h a = 2 ⋅ S a , {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},} где S {\displaystyle S} - площадь треугольника, a {\displaystyle a} - длина стороны треугольника, на которую опущена высота .
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , {\displaystyle h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},} где b ⋅ c {\displaystyle b{\cdot }c} - произведение боковых сторон, R − {\displaystyle R-} радиус описанной окружности
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . {\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}} , где r {\displaystyle r} - радиус вписанной окружности .
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}} , где S {\displaystyle S} - площадь треугольника.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}} , a {\displaystyle a} - сторона треугольника к которой опускается высота h a {\displaystyle h_{a}} .
  • Высота равнобедренного треугольника , опущенная на основание: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , {\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}
где c {\displaystyle c} - основание, a {\displaystyle a} - боковая сторона.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h {\displaystyle h} , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c {\displaystyle c} на отрезки m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} , соответствующие катетам b {\displaystyle b} и a {\displaystyle a} , то верны следующие равенства.

Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах

У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из существуют свои правила построения и расчета.

Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом

Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.

  1. По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
  2. Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине - α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны - a, b, c.
  3. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
  4. Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.

Высота в треугольнике с тупым углом

Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.

Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ - тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.

Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.

Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.

Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану - отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.

Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы треугольника в данном случае, требуется только одно построение.

Как найти наибольшую или наименьшую высоту треугольника? Чем меньше высота треугольника, тем больше проведенная к ней высота. То есть наибольшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наименьшей стороне. — та, которая проведена к наибольшей из сторон треугольника.

Чтобы найти наибольшую высоту треугольника , можно площадь треугольника разделить на длину стороны, к которой проведена эта высота (то есть на длину наименьшей из сторон треугольника).

Соответственно, для нахождения наименьшей высоты треугольника можно площадь треугольника разделить на длину его наибольшей стороны.

Задача 1.

Найти наименьшую высоту треугольника, стороны которого равны 7 см, 8 см и 9 см.

Дано:

AC=7 см, AB=8 см, BC=9 см.

Найти: наименьшую высоту треугольника.

Решение:

Наименьшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне. Значит, нужно найти высоту AF, проведенную к стороне BC.

Для удобства записи введем обозначения

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Высота треугольника равна частному от деления удвоенной площади треугольника на сторону, к которой эта высота проведена. можно найти с помощью формулы Герона. Поэтому

Вычисляем:

Ответ:

Задача 2.

Найти наибольшую сторону треугольника со сторонами 1 см, 25 см и 30 см.

Дано:

AC=25 см, AB=11 см, BC=30 см.

Найти:

наибольшую высоту треугольника ABC.

Решение:

Наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне.

Значит, нужно найти высоту CD, проведенную к стороне AB.

Для удобства обозначим

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.

Как найти высоту разностороннего треугольника

Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.

Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.

Общие формулы, как вычисления высоты треугольника

  • Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
  • Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
  • Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
  • Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.