Кривые второго порядка. Лабораторная работа «Кривые второго порядка

1. Цель работы

Приобретение умений построения кривых второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат и составления их канонических уравнений.

1) По виду уравнений (табл. 1) определите тип заданных кривых. Решение оформите в тетради.

2) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 2) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

3) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 3) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

4) Составьте каноническое уравнение: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (табл. 4). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y вида

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов A , B , C отличен от нуля в декартовой прямоугольной системе координат может задавать: окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, точку или пустое множество. Первые четыре линии называются кривыми второго порядка .

Если уравнение (1) не содержит произведение ху и имеет вид:

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (2)

то в зависимости от значений коэффициентов А и С по виду уравнения легко определить тип кривой:

а) если А ×С > 0, то уравнение (2) задает линию эллиптического типа (эллипс, окружность, точку или пустое множество);

б) если А ×С < 0, то уравнение (2) задает линию гиперболического типа (гиперболу или пару пересекающиеся прямые);

в) если А ×С = 0, то уравнение (2) задает линию параболического типа (параболу, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямые или пустое множество).

Пример 1. По виду уравнений определите тип заданных кривых:

а) х 2 + 5у 2 – 3х – 7у – 7 = 0, б) 2х 2 – 3у 2 + 4х – 5 = 0, в) 3у 2 – 2х + 6у = 0.

Решение. а) В уравнении А = 1, С = 5, следовательно, А ×С > 0 и оно определяет линию эллиптического типа.

б) Из уравнения А = 2, С = –3, т.е. А ×С < 0, а значит, это уравнение линии гиперболического типа.

в) В уравнении А = 0 и С = 3, т.е. А ×С = 0. Заключаем, что дано уравнение параболического типа.

Вид кривой второго порядка не зависит от системы координат, поэтому для каждой кривой может быть выбрана такая система координат, в которой ее уравнение примет наиболее простой вид, называемый каноническим (простейшим ) .

Кривые второго порядка.

1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки C (a ; b ) (центр окружности ) на расстояние R (радиус окружности ) (рис. 1). Каноническое уравнение:

(x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2 . (3)

Рис. 1. Окружность (x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2

В частном случае, а) если a = 0 (рис. 2, а), то каноническое уравнение окружности имеет вид:

x 2 + (y – b ) 2 = R 2 ; (4)

б) если b = 0 (рис. 2, б), то каноническое уравнение имеет вид:

(x – a ) 2 + y 2 = R 2 ; (5)

в) если a = b = 0 (рис. 2, в), то каноническое уравнение имеет вид:

x 2 + y 2 = R 2 . (6)

1 Составить уравнение хорды окружности х 2 +у 2 = 49, делящейся в точке А (1;2) пополам.

Ответ. х + 2у -5 = 0.

2. Определить координаты центров и радиусы окружностей:

а) х 2 +у 2 - 8х + 6у = 0; б) х 2 +у 2 +10х - 4у +29 = 0;

в) х 2 +у 2 - 4х +14у + 54 = 0.

Ответ: а) а = 4, b =-3, r = 5; б) а = -5, b = 2, r =0. Уравнение определяет точку;

в) а =2, b =-7, r 2 =-1. Уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая, окружность).

3. Найти угол между радиусами окружности

х 2 +у 2 +4х -6у =0, проведенными в точки пересечения ее с осью Оу .

Ответ: tgφ=-2,4.

4. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (1; 2), В (0;-1), С (-3; 0).

Ответ : (х +1) 2 +(у -1) 2 =5.

5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (7; 7) и В (-2; 4), зная, что ее центр лежит на прямой

2х - у -2=0.

Ответ : (х - З) 2 +(у -4) 2 =25.

6. Составить уравнение общей хорды окружно­стей х 2 +у 2 =16 и (х -5) 2 + у 2 = 9.

Ответ : х =3,2.

7. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса .

Ответ : 4х +3у +12= 0.

8. На прямой х +5=0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса .

Ответ : М (-5; 7).

9. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, зная, что точки F 1 (0; 0) и F 2 (1; 1) явля­ются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.

Ответ : Зх 2 + Зу 2 - 2ху - 2х - 2у - 1 == 0.

10. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки А (0; 1) з два раза меньше расстояния до прямой у -4=0.

Ответ: .

Занятие 16. Кривые второго порядка: гипербола, парабола

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Поместив фокусы гиперболы в точках F 1 (с; 0) и F 2 (-с;0), получаем уравнение гипер­болы в виде ,

Где b 2 =c 2 -a 2 ;

это простейшее (каноническое) уравнение гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А 1 (а ;0) и А 2 (-а ;0) называются вершинами гиперболы.

Отрезок А 1 А 2 =2а называют вещественной осью гиперболы, а отрезок В 1 В 2 =2b – мнимой осью (рис. 15).

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы М (х ;у ) от этой прямой стремится к нулю при х →+∞ или х →-∞. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х =а,

х = - а, у=b, у=-b . Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На чертеже указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение ε называется эксцентриситетом гиперболы.

Если а=b , то уравнение гиперболы принимает вид

х 2 - у 2 = a 2 .

Такая гипербола называется равнобочной.

Уравнение

также является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2b .

Две гиперболы и имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты; но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.

Пример 16.1. Эксцентриситет гиперболы равен . Соста­вить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( ; ).

Решение. По определению эксцентриситета можем написать равенство , или с 2 =2а 2 . Но с 2 = а 2 + b 2 , следовательно, а 2 + b 2 = 2а 2 , или а 2 = b 2 , т. е. гипербола равнобочная.

Другое равенство имеем из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е. , или . Поскольку а 2 =b 2 , получим , т.е. а 2 =1.

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х 2 - у 2 =1.

Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая , а фокусом - точка ( ,0), то уравнение параболы имеет вид

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис.6, где р 0).

Уравнение

является уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат. При p> 0 параболы (16.1) и (16.2) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при p< 0 - в отрицательную сторону. Длина фокального радиуса-вектора параболы определяется по формуле .

Пример 16.2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равны 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

8.1. Написать уравнение окружности с центром С (-4;3), радиусом R = 5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А (-1;-1), В (3;2), О (0;0)?

Ответ: А иО – на окружности, В – вне ее.

8.2. Построить окружности: 1) х 2 +у 2 -4х +6у -3=0; 2) х 2 +у 2 -8х =0; 3) х 2 +у 2 +4у =0.

8.3. Построить эллипс х 2 +4у 2 =16, найти его фокусы и эксцентриситет.

8.4. Построить эллипс 9х 2 +25у 2 =225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение директрис.

Ответ: а) а =5, b =3; б) F 1 (-4;0), F 2 (4;0); в) е =4/5; г) D 1 : х =-25/4; D 2 : х =25/4.

8.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если: а) а =3, b =2; б) а =5, с =4; в) с =3, е =3/5; г) b =5, е =12/13; д) с =2 и расстояние между директрисами равно 5; е) е =1/2 и расстояние между директрисами равно 32.

Ответ: а) ; б); в); г); д); е).

8.6. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b =3;2) большая полуось а= 6, а эксцентриситет е= 0,5.

Ответ: 1) 2)

8.7. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 млн км, а наибольшее 152,5 млн км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

Ответ: а =150 млн км,

8.8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох , проходит через точку М (-4; ) и имеет эксцентриситет е =3/4. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-вектор точки М .

Ответ:

8.9. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки М 1 (2;) иМ 2 (0;2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М 1 и расстояния этой точки до директрис.

8.10. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М (2) и А (6;0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.11. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

Ответ: или

8.12. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр С , полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а) 5х 2 +9у 2 -30х +18у +9=0;

б) 16х 2 +25у 2 +32х -100у -284=0;

в) 4х 2 +3у 2 -8х +12у -32=0.

Ответ: а) С (3;-1), а =3; b =,е =2/3, D 1 : 2х +3=0; D 2 : 2х -15=0;

б) С (-1;2), а =5; b =4, е =3/5, D 1 : 3х +28=0; D 2 : 3х -22=0;

в) С (1;-2), а =4; b =,е =1/2, D 1 : у +10=0; D 2 : у -6=0.

8.13. Определить траекторию точки М , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (-1;0), чем к прямой х =-4.

8.14. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М , если сумма расстояний от нее до точек F 1 (-1;-1) и F 2 (1;1) остается постоянной и равной 2.

Ответ: 2х 2 -2ху +2у 2 -3=0.

8.15. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М , если расстояние от нее до точки F (3;0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у -1=0.

Ответ: 7х 2 -2ху +7у 2 -46х +2у +71=0.

8.16. Построить эллипс , его директрисы и найти расстояния от точки эллипса с абсциссойх =-3 до правого фокуса и правой директрисы.

Ответ: r =7,4, d =9,25.

8.17. Построить гиперболу 16х 2 -9у 2 =144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Ответ: а) а =3, b =4; в) F 1 (-5;0), F 2 (5;0), в) е =5/3; г) у =±4/3х ; д) х =±9/5.

8.18. Построить гиперболу х 2 -4у 2 =16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

8.19. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а =2, b =3; б) b =4, с =5; в) с =3, е =3/2; г) а =8, е =5/4; д) с =10 и уравнения асимптот ; е)е =3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.

Ответ: а) б)в); г)

8.20. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку М (6;-2) и имеет мнимую полуось b =2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.21. Убедившись, что точка М (-5;9/4) лежит на гиперболе , найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния до директрис.

Ответ: r 1 =9/4; r 2 =41/4; (М, D 1 )=9/5, (М, D 2 )=41/5.

8.22. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

8.23. Найти точки гиперболы , находящиеся на расстоянии 7 от фокусаF 1 .

Ответ: (-6;).

8.24. Построить гиперболу , ее директрисы и найти расстояния от точки гиперболы с абсциссойх =5 до левого фокуса и левой директрисы.

Ответ: Директриса х =3,2,е =1,25, r =10,25, d =8,2.

8.25. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

Ответ: или .

8.26. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х 2 -3у 2 =12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

Ответ: (0; 0) и (6; ).

8.27. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а) 16х 2 -9у 2 -64х -54у -161=0;

б) 9х 2 -16у 2 +90х +32у -367=0;

в) 16х 2 -9у 2 -64х -18у +199=0.

Ответ: а) С (2;-3), а =3, b =4, е =5/3, уравнения асимптот: 4х -3у -17=0 и 4х +3у +1=0; уравнения директрис: 5х -1=0 и 5х -19=0; б) С (-5;1), а =8, b =6, е =5/4, уравнения асимптот: 3х+ 4у +11=0 и 3х -4у +19=0; уравнения директрис: х =-11,4 и х =1,4; в) С (2;-1), а =4, b =3, е =5/4, уравнения асимптот: 4х +3у -5=0 и 4х -3у- 11=0; уравнения директрис: у= -4,2 и у =2,2.

8.28. Построить следующие параболы и найти их параметры:

а) у 2 =6х ; б) х 2 =5у ; в) у 2 =-4х ; г) х 2 =-у .

Ответ: а) р =3; б) р =5/2; в) р =2; г) р =1/2.

8.29. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у 2 =4х ; 2) у 2 =-4х ; 3) х 2 =4у ; 4) х 2 =-4у , а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

8.30. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0;2) и от прямой у =4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

8.31. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и р =1/2;

б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М (4;-8);

в) фокус параболы находится в точке F (0;-3).

Ответ: а) у 2 =-х ; б) х 2 =-2у ; в) х 2 = -12у .

8.32. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0;0) и (-1;2) и симметричной относительно оси Ох ; 2) проходящей через точки (0;0) и (2;4) и симметричной относительно оси Оу .

Ответ: 1) 2).

8.33. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р :

а) у 2 =4х- 8; б) х 2 =2-у ; в) у= 4х 2 -8х +7; г) у= -1/6х 2 +2х -7; д) х=- 1/4у 2 +у ; е) х= 2у 2 -12у +14.

Ответ: а) А (2;0); р =2; б) А (0;2); р =1/2; в) А (1;3); р =1/8; г) А (6;-1); р =3; д) А (1;2); р =2; е) А (-4;3); р =1/4.

8.34. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у 2 =12х , если у(М )=6.

8.35. Зеркальная поверхность прожектора (рис.2) образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

y

b

C

B

A

a

x

0

Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?

Ответ: 40 см.

8.36. Определить область расположения кривой . Построить кривую.

8.37 . Определить область расположения кривой . Построить кривую.

8.38. Перенесением начала координат упростить уравнения:

1) ; 2);

3) (у +2) 2 =4(х -3); 4) 2у =-(х +2) 2 ;

5) х 2 +4у 2 -6х +8у =3; 6) у 2 -8у =4х ;

7) х 2 -4у 2 +8х -24у =24; 8) х 2 +6х +5=2у .

Ответ: 5) 6)7)8)

8.39. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий:

1) 2х 2 +5у 2 -12х +10у +13=0;

2) х 2 -у 2 +6х +4у -4=0;

3) у 2 +4у =2х ;

4) х 2 -10х =4у -13.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

Ответ: 1) 2)3)4)

8.40.

1) 3х 2 -2ху +3у 2 -4х -4у -12=0; 2) х 2 -6ху +у 2 -4х -4у +12=0.

Ответ: 1) 2)

8.41. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:

1) х 2 +4ху +4у 2 -20х +10у -50=0; 2) х 2 -4ху +4у 2 -6х +12у +8=0

и построить их.

Ответ: 1) 2) пара прямыхх -2у =31.

8.42. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1) х 2 -ху +у 2 -2х -2у -2=0; 2) 3х 2 +10ху +3у 2 -12х -12у +4=0.

Лабораторная работа «Кривые второго порядка»

Пусть кривая второго порядка задана уравнением

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению.

Возможны следующие случаи:

1. АС -https://pandia.ru/text/79/564/images/image002_14.gif" width="83" height="45 src="> - эллипс,

https://pandia.ru/text/79/564/images/image004_9.gif" width="91" height="45 src="> - пустое множество точек (мнимый эллипс).

2. АС - https://pandia.ru/text/79/564/images/image005_6.gif" width="92" height="44 src="> - гиперболы,

https://pandia.ru/text/79/564/images/image001_15.gif" width="40" height="49 src=">= 0 - параболический тип.

Канонические уравнения фигур параболического типа:

у2 = 2рх (х2 = 2ру) (р 0) – парабола;

у2 = а2 (х2 = а2) (а 0) – пара параллельных прямых;

у2 = 0 (х2 = 0) – пара совпадающих прямых;

у2 = - а2 (х2 = - а2) (а 0) – пустое множество точек.

Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул

x = x΄cosα – y΄sinα

y = x΄sinα + y΄cosα ,

следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования рассмотрим для каждого типа кривых.

1. Эллиптический тип.

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

Дополним до полного квадрата члены, содержащие х2 и х , а также y 2 и y . После этого уравнение можно будет записать в виде

A (x – x 0 )2 + C (y – y 0 )2 = F 1 (2)

Если F 1 > 0 , то уравнение (2) приводится к виду

https://pandia.ru/text/79/564/images/image009_3.gif" width="56" height="43 src=">, DIV_ADBLOCK60">

Если F 1 = 0

A (x – x 0 )2 + C (y – y 0 )2 = 0

и определяет точку М(х0, у0).

При А = С эллипс превращается в окружность: (x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 = R 2 , где https://pandia.ru/text/79/564/images/image008_3.gif" width="156" height="47 src=">.

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Оу .

Если F 1 = 0 , то уравнение (2) принимает вид

A (x – x 0 )2 + C (y – y 0 )2 = 0

Ему соответствует пара пересекающихся прямых. Докажем.

Введем обозначения: A = m 2 , C = - n 2 и запишем уравнение в виде:

m 2 (x – x 0 )2 - n 2 (y – y 0 )2 = 0 или

(m (x – x 0 ) - n (y – y 0 ))(m (x – x 0 ) + n (y – y 0 )) = 0.

Это уравнение равносильно следующим двум:

m(x – x0) - n(y – y0) = 0,

m(x – x0) + n(y – y0) = 0,

каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0).

3. Параболический тип.

Ax 2 + Dx + Ey + F = 0.

Дополнив члены, содержащие x 2 и х , до полного квадрата, получим

A (x – x 0 )2 + Ey = F 1 .

Если E ≠ 0 , то уравнение можно записать в виде y – y 0 = a (x – x 0 )2 . Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу .

Если Е = 0 и F 1 > 0 , то уравнение A (x – x 0 )2 = = F 1 равносильно уравнениям

https://pandia.ru/text/79/564/images/image013_4.gif" width="147" height="27 src=">,

которые определяют пару параллельных прямых.

Если Е = 0 и F 1 < 0 , то получим также уравнение A (x – x 0 )2 = F 1 , которому соответствует пустое множество.

Если Е = 0 и F 1 = 0 , то A (x – x 0 )2 = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых

x – x 0 = 0.

Если предположить, что С ≠ 0, А = 0 , то уравнение (1) будет иметь вид:

Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

Аналогично предыдущему можно показать, что при D 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох , и может быть приведено к виду

x – x 0 = а(y – y 0 )2.

Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество.

При переходе основной системы координат хОу к новой х΄О1у΄ направление осей координат остается прежним, за новое начало координат принимается точка О1(a ; b ). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами:

x = x΄ + a, y = y΄ + b;

x΄ = x – a, y΄ = y – b.

Пример: х2 – 2ху + у2 – 10х – 6у + 25 = 0.

1) Определим тип кривой: А =1, В/2 = -1, С = 1, АС – (В/2)2 = 0 – кривая параболического типа.

2) Приведем уравнение кривой к каноническому уравнению.

Освободимся от слагаемого содержащего ху . Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей координат:

(x΄cosα – y΄sinα )2 – 2(x΄cosα – y΄sinα )(x΄sinα + y΄cosα ) + (x΄sinα + y΄cosα )2 – 10(x΄cosα – y΄sinα ) – 6(x΄sinα + + y΄cosα ) + 25 = 0, раскроим скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными

(cos 2 α – 2 cosαsinα + sin 2 α) x΄ 2 + (sin 2 α + 2 sinαcosα + + cos 2 α) y΄ 2 + 2(- cos 2 α + sin 2 α –

- cosαsinα + cosαsinα ) x΄y΄ – (10 cosα + 6 sinα ) x΄ + (10 sinα -6 cosα ) y΄ + 25 = 0.

Множитель при слагаемом содержащем приравняем к нулю:

sin 2 α - cos 2 α = 0,

sin 2 α = cos 2 α,

tg 2 α = 1,

tgα 1 = 1, tgα 2 = -1. Возьмем tgα 1 = 1 ; α = https://pandia.ru/text/79/564/images/image021_3.gif" width="28" height="45 src=">)2 = 8 x΄ + 24.

Получим уравнение

(y΄ + https://pandia.ru/text/79/564/images/image020_2.gif" width="25 height=23" height="23">(x΄ - https://pandia.ru/text/79/564/images/image023_3.gif" width="91" height="53 src=">, новые координаты выразим через старые.