Натуральные числа законы арифметических действий. Теоретические основы законов и свойств арифметических действий
Тема № 1.
Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений
Основные понятия
· Натуральные числа
· Десятичная запись числа
· Противоположные числа
· Целые числа
· Обыкновенная дробь
· Рациональные числа
· Бесконечная десятичная дробь
· Период числа, периодическая дробь
· Иррациональные числа
· Действительные числа
· Арифметические действия
· Числовое выражение
· Значение выражения
· Обращение десятичной дроби в обыкновенную
· Обращение обыкновенной дроби в десятичную
· Обращение периодической дроби в обыкновенную
· Законы арифметических действий
· Признаки делимости
Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.
Например : 24; 3711; 40125.
Множество натуральных чисел принято обозначать N .
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.
Например , числа 7 и – 7.
Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .
Например : – 37; 0; 2541.
Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Например : , .
Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .
Например : ; – 17,55; .
Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.
Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.
Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .
Например : ; 0,(23); 41,3574…
Число 
является иррациональным.
Для всех чисел определены действия трёх ступеней:
· действия I ступени: сложение и вычитание;
· действия II ступени: умножение и деление;
· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.
Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.
Например
: 
; .
Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .
Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.
При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.
Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.
При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.
Например : ; .
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Например
: 
;
;
.
Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:
1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;
2) записать эту разность числителем;
3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;
4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например
: 
; 
.
Законы арифметических действий над действительными числами
1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:
2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:
3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:
4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:
.
5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:
Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.
Признаки делимости
Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.
Например : 12834; –2538; 39,42.
Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например : 2742; –17940.
Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
Например : 15436; –372516.
Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Например : 754570; –4125.
Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например : 846; –76455.
Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.
Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.
Пусть а -- число элементов в множестве А, Ь -- число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.
Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).
Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).
Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с -- a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.
Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.
И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный -- что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).
Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.
На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.
Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.
Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.
С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.
Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:
1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;
4+2+ 1 = 6+1 =7;
4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.
Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с -- целые неотрицательные числа, то:
а) при а>с имеем, что (а+Ь) -- с = (а -- с)+Ь;
б) при Ь>с имеем, что (a+b) -- c==a + (b -- с);
в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данныхформул.
Пусть а >с, тогда разность а --с существует. Обозначим ее через р: а -- с =р. Отсюда а = р+с. Подставим сумму р+-с вместо а в выражение (а+Ь) -- с и преобразуем его: (а + 6) --с = (р + c+b) -- c = p+b+-c -- c = p+b
Но буквой р обозначена разность а --с, значит, имеем (а+Ь) -- -- с = (а -- с)+Ь, что и требовалось доказать.
Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) -- с есть число элементов множества (AUB)C, а число (а -- с)+Ь есть число элементов множества {АС)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке.
Легко убедиться в том, что множество (АС)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)C = (AC)UB для данных
множеств А, В и С. Следовательно, п((АUВ)С) = п((АС)UВ)и (а + Ь)-- с -- (а -- с)+Ь.
Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».
Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с -- целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а--(Ь+с) = (а -- Ь)--с.
Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.
Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:
5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.
Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:
/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22
// способ. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22
III способ. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22
Законы умножения
Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.
1. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо равенство a*b = b*a.
Пусть а = п(А), Ь = п(В). Тогда по определению произведения а*Ь = п{А*В). Но множества А*В н В*А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п(АХВ) = п(ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.
2. Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а* Ь) *с = а* (Ь*с).
Пусть а = п(А), b = п (В), с = п (С). Тогда по определению произведения {a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b -c) = n (AX(BXQ). Множества (АхВ)ХС и А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе -- из пар вида (а, (Ь, с)), где аЈА, ЬЈВ, сЈС. Но множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) *С) = п {А*(В*С)), и, значит, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).
3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.
Пусть а -- п (А), Ь = п (В), с = п(С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) * C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) * С) = п((А * С)U(В* С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А * С)U(В* С)) -- = п(А*С) + п(В*С) = ас + Ьс.
4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а -- Ь)с = = ас -- Ьс.
Этот закон выводится из равенства (АВ) *С = (А *С)(В*С) и доказывается аналогично предыдущему.
Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а -- Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас --be или
В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» -- и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3* (5*2) и сравнить полученные результаты.
Приводятся случаи:
1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;
2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;
3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.
Первый из них основан на правиле порядка действий, второй -- на сочетательном законе умножения, третий -- на переместительном и сочетательном законах умножения.
Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.
Правила деления суммы на число и числа на произведение
Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.
Правило деления суммы на число. Если числа а и Ь делятся на число с, то и их сумма а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и Ъ на с, т. е.
(а + Ь): с = а: с + b: с.
Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а:с, что а = с-т. Аналогично существует такое натуральное число п -- Ь:с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а:с+Ь:с.
Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.
Пусть а = п{А), Ь = п(В), причем АГВ=0. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.
При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а:с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь:с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а:с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.
Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь * с) --(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а:Ь = с-х, отсюда аналогично а -- Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.
Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.
a-(b:c) = (a-b):c.
Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.
Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:
(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12* 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:
1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.
Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.
В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».
Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:
1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);
2) сумма всегда определена однозначно;
3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;
4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:
5) имеет место закон монотонности: если , то .
Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.
Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:
1) всегда есть число;
2) произведение однозначно,
3) закон сочетательности:
4) закон переместительности:
5) закон монотонности: если , то
Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:
6) закон распределительности, или дистрибутивности:
Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;
согласно закону распределительности
В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).
Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.
Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.
Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.
18-19.10.2010 г.
Тема : «ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»
Цель: познакомить учащихся с законами арифметических действий.
Задачи урока:
раскрыть на конкретных примерах переместительный и сочетательный законы сложения и умножения учить их применять при упрощении выражений;
формировать умения упрощать выражения;
работать над развитием логического мышления и речи детей;
воспитывать самостоятельность, любознательность, интерес к предмету.
УУД: умение действовать со знаково-символическими символами,
умение выбирать основания, критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
Оборудование: учебник, ТПО,презентация
Рис. 30 Рис. 31
Используя рисунок 30, объясните, почему справедливо равенство
а + b = b + а.
Это равенство выражает известное вам свойство сложения. Постарайтесь вспомнить какое.
Проверьте себя:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
Это свойство - переместительный закон сложения.
Какое равенство можно записать по рисунку 31? Какое свойство сложения выражает это равенство?
Проверьте себя.
Из рисунка 31 следует, что (а + b) + с = а + (b + с): если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых.
Вместо (а + b) + с, так же как и| вместо а + (b + с), можно писать просто а + b + с.
Это свойство - сочетательный закон сложения.
В математике законы арифметических действий записывают как в| словесной форме, так и в виде равенств с использованием букв:
Объясните, как, используя законы сложения, можно упростить следующие вычисления, и выполните их:
212.
а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 +
75;
б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;
в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 16 + 234;
г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.
213. Используя рисунок 32, объясните, почему справедливо равенство ab = b а.
Вы догадались, какой закон иллюстрирует это равенство? Можно ли утверждать, что для
умножения справедливы те же законы, что и для сложения? Постарайтесь их сформулировать,
а затем проверьте себя:
Используя законы умножения, значения следующих выражений вычислите устно:
214. а) 76 · 5 · 2; в) 69 · 125 · 8; д) 8 · 941 · 125; В С
б) 465 · 25 · 4; г) 4 · 213 · 5 ·
5; е) 2 · 5 · 126 ·4 · 25.
215. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 33) двумя способами.
216. Используя рисунок 34, объясните, почему справедливо равенство: а(b + с) = ab + ас.
Рис. 34 Какое свойство арифметических действий оно выражает?
Проверьте себя. Это равенство иллюстрирует следующее свойство: при умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Можно это свойство сформулировать и по-другому: сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей.
Это свойство еще один закон арифметических действий - распределительный . Как видим, словесная формулировка этого закона очень громоздкая, и математический язык - это то средство, которое делает ее краткой и понятной:
Подумайте, как устно выполнить вычисления в заданиях № 217 – 220 и выполните их.
217. а) 15 · 13; б) 26 · 22; в) 34 · 12; г) 27 · 21.
218. а) 44 · 52; б) 16 · 42; в) 35 · 33; г) 36 · 26.
219. а) 43 · 16 + 43 · 84; д) 62 · 16 + 38 · 16;
б) 85 · 47 + 53 · 85; е) 85 · 44 + 44 · 15;
в) 54 · 60 + 460 · 6. ж) 240 · 710 + 7100 · 76;
г) 23 · 320 + 230 · 68; з) 38 · 5800 + 380 · 520.
220. а) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6; в) 17 · 27 + 23 · 17 + 50 · 19;
б) 7 · 125 + 3 · 62 + 63 · 3; г) 38 · 46 + 62 · 46 + 100 · 54.
221. Сделайте в тетради рисунок, подтверждающий равенство а ( b - с) = а b - ас
222. Вычислите устно, применив распределительный закон: а) 6 · 28; б) 18 · 21; в) 17 · 63; г) 19 · 98.
223. Вычислите устно: а) 34 · 84 – 24 · 84; в) 51· 78 – 51· 58;
б) 45 · 40 – 40 ·25; г) 63 · 7 – 7· 33
224 Вычислите: а) 560 · 188 – 880 · 56; в) 490 · 730 – 73 · 900;
б) 84 · 670 – 640 · 67; г) 36 · 3400 – 360 · 140.
Вычислите устно, используя известные вам приемы:
225. а) 13 · 5 + 71 · 5; в) 87 · 5 – 23 · 5; д) 43 · 25 + 25 · 17;
б) 58 · 5 – 36 · 5; г) 48 · 5 + 54 · 5; е) 25 · 67 – 39 · 25.
226. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545; в) 532 · (618 – 436) и 532 · 618 –532 · 436;
б) 751· (339 + 564) и 751· 340 + 751· 564; г) 496 · (862 – 715) и 496 · 860 – 496 · 715.
227.
Заполните таблицу:
Надо ли было производить вычисления, чтобы заполнить вторую строчку?
228. Как изменится данное произведение, если множители изменить следующим образом:
229. Запишите, какие натуральные числа расположены на координатном луче:
а) левее числа 7; в) между числами 2895 и 2901;
б) между числами 128 и 132; г) правее числа 487, но левее числа 493.
230. Вставьте знаки действий, чтобы получилось верное равенство: а) 40 + 15 ? 17 = 72; в) 40 ? 15 ? 17 = 8;
б) 40 ? 15 ? 17 = 42; г) 120 ? 60 ? 60 = 0.
231 . В одной коробке носки голубые, а в другой - белые. Голубых носков на 20 пар больше, чем белых, а всего в двух коробках 84 лары носков. Сколько пар носков каждого цвета?
232 . В магазине имеется крупа трех видов: гречка, перловка и рис, всего 580 кг. Если бы продали 44 кг гречки, 18 кг перловки и 29 риса, то масса круп всех видов стала бы одинаковой. Сколько кил граммов крупы каждого вида имеется в магазине.
Цель: проверить сформированность умений выполнять вычисления по формулам; познакомить детей с переместительным, сочетательным и распределительным законами арифметических действий.
- познакомить с буквенной записью законов сложения и умножения; научить применять законы арифметических действий для упрощения вычислений и буквенных выражений;
- развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;
- воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.
Тип урока: комбинированный.
- проверка ранее усвоенных знаний;
- подготовка учащихся к усвоению нового материала
- изложение нового материала;
- восприятие и осознание учащимися нового материала;
- первичное закрепление изученного материала;
- подведение итогов урока и постановка домашнего задания.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация.
План:
1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с
учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний
(самостоятельная работа).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент
Учитель: Добрый день, дети! Наш урок мы начинаем со стихотворения – напутствия. Обратите внимание на экран. (1 слайд) . Приложение 2 .
Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!
2. Повторение материала
Повторим пройденный материал. Я приглашаю к экрану ученика. Задача: соединить с помощью указки записанную формулу с её названием и ответить на вопрос, что с помощью данной формулы можно ещё найти. (2 слайд).
Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран. (3 слайд).
Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).
12 + 5 + 8 25 10 250 – 50 200 – 170 30 + 15 45: 3 15 + 30 45 – 17 28 25 4
Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)
– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)
Проблемная ситуация
– Какие свойства сложения и умножения вы знаете из начальной школы? Умеете ли вы их записывать с помощью буквенных выражений? (Ответы детей).
3. Изучение нового материала
– И так, тема сегодняшнего урока “Законы
арифметических действий” (6 слайд).
– Запишите в тетради тему урока.
– Что нового мы должны узнать на уроке? (Вместе с
детьми формулируются цели урока).
– Смотрим на экран. (7 слайд)
.
Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).
– Следующий слайд (8 слайд).
Разбираем законы умножения.
– А теперь познакомимся с очень важным распределительным законом (9 слайд).
– Подведём итог. (10 слайд).
– Для чего необходимо знать законы арифметических действий? Пригодятся ли они в дальнейшей учёбе, при изучении каких предметов? (Ответы детей.)
– Запишите законы в тетрадь.
4. Закрепление материала
– Откройте учебник и найдите № 212 (а, б, д) устно.
№ 212 (в, г, ж, з) письменно на доске и в тетрадях. (Проверка).
– Устно работаем над № 214.
– Выполняем задачу № 215. Какой закон используется при решении данного номера? (Ответы детей).
– Запишите на карточке ответ и сравните ваши результаты с соседом по парте. А теперь внимание на экран. (11 слайд). (Проверка самостоятельной работы).
6. Итог урока
– Внимание на экран. (12 слайд). Закончите предложение.
Оценки за урок.
7. Домашнее задание
§13, № 227, 229.
8. Рефлексия