Графики взаимно обратных функций симметричны относительно. Взаимно обратные функции

Цели урока:

Образовательная:

формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

Определение отсутствующих,

Настрой учащихся на работу, организация внимания;

Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1 >

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Какая функция называется обратимой?
Любая ли функция обратима?
Какая функция называется обратной данной?
Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х 1 ≠х 2 - две точки множества Х .
Для определенности пусть х 1 < х 2 .
Тогда из того, что х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(х 2) .
Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1 (y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x) .

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

Убедиться, что функция монотонна.
Выразить переменную х через у.
Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски.

Чтобы получить график функции y=f -1 (x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .

Определение 1

Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$

Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.

Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

Нахождение обратной функции

Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.

Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.

Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией . А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g - есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции .

Здравствуйте! На этом уроке мы поговорим об обратных функциях. Предположим, у нас есть некоторая функция f. Она отображает множество Х во множество У. Здесь, допустим, будет множество Х, а здесь множество У. Мы знаем, что функция – это всего-навсего соответствие между элементами множества Х и элементами множества У. Пусть это у нас будет какой-то элемент множества Х, и под действием функции он отразится в элемент множества У. Вот наша функция. Под ее действием элемент будет отображаться во множество Y. Функцию поэтому и называют еще отображением. Функция f отображает элемент множества Х в элемент множества У. Вот этому элементу из множества Х соответствует этот элемент из множества У. Давайте назовем эти элементы. Это пусть будет а, а это b. Тогда мы можем записать, что а принадлежит множеству Х, а b, принадлежит множеству У. А значит, f(a)=b. Вот мы и повторили, что такое функция. А теперь рассмотрим несколько весьма интересных функций. На самом деле их будет только две. Это будут тождественные функции. Назовем первую функцию I с индексом х, так как эта функция оперирует на множестве Х. Функция Iх отображает множество Х в множество Х. И самое интересное в тождественной функции, что если мы возьмем какой-то элемент а, принадлежащий множеству Х, то тождественная функция от этого элемента будет равна самому этому элементу, Iх(а)=а. И если бы мы изобразили функцию Iх(а), то она выглядела бы так. Элемент а переходит сам в себя. Вот такой кружок у нас получился. Элемент а отображается сам в себя. Это тождественная функция Iх. Аналогично, если мы возьмем любую другую точку из множества Х, то она также будет отражаться в саму себя. Это у нас тождественная функция на множестве Х. Теперь запишем функцию на множестве У. b принадлежит множеству У. Вот этот элемент b. Тогда функция Iу(b) будет равна b. b соответствует самому себе. Значит, это равно b. Тождественная функция на множестве У. Вы, возможно, скажете, что такого рода функции бессмысленны. Может это и так, но они довольно полезны в линейной алгебре. Теперь давайте выясним, что такое обратимая функция. Думаю, этот термин вам ещё не знаком. Итак, функция называется обратимой в том случае, если выполняются следующие условия. Я поставила двойную стрелку, так как если условия выполняются, то из этого следует, что функция обратима, и наоборот, если функция обратима, то выполняются условия. Значит, функция обратима в том случае, если существует функция обратная (обозначим эту функцию как f в минус первой степени)… Мы ведь помним, что f – это обычная функция, которая отображает множество Х во множество У. Теперь вернемся к условиям. Функция обратима в том случае, если существует функция обратная f, которая отображает множество У во множество Х. Давайте повторим еще раз: функция называется обратимой, если существует функция обратная f, которая отображает множество У в множество Х, и которая в композиции с функцией f в минус первой степени равна тождественной функции, Итак, композиция функции f с функцией f в минус первой степени равна тождественной функции. Давайте внимательно посмотрим, что здесь происходит. Только сначала до конца запишем определение обратимой функции. И, конечно же, композиция функции f и функции обратной f должна равняться тождественной функции на множестве У. Таким образом, если существует некоторая функция обратная f … давайте подпишем: обратная. И эта функция отображает множество У во множество Х… Функция f отображает множество Х в множество У. Вот так можно показать эту функцию. Элементу множества Х соответствует элемент множества У. И мы только что сказали, что должна существовать еще одна функция (обратная функция), которая отображает элементы множества У в элементы множества Х. Таким образом, обратная функция – это функция, которая показывает, что элементу из множества У соответствует элемент из множества Х. В первом случае Х выступает областью определения функции, а во втором – целевым множеством. У же в первом случае является целевым множеством, а во втором – областью определения. Надеюсь, это понятно. Давайте посмотрим, что записано дальше. Композиция функции f и обратной ей функции должна равняться тождественной функции. Что собой представляет эта композиция? Функция f отображает множество Х во множество У, а обратная ей функция отображает множество У во множество Х. Значит, f переводит множество Х во множество У, а обратная функция переводит множество У во множество Х. То есть, по сути, эта композиция функций отображает множество Х во множество Х. Именно это и делает тождественная функция. Значит, это и есть тождественная функция. Мы задаем функции f значение из множества Х, она отображает это значение во множество У, а обратная функция, в свою очередь, отображает это значение из множества У обратно во множество Х. По-другому мы можем записать это так: композиция обратной функции и функции от какого-то значения а из множества Х равна тождественной функции на множестве Х. Эти два выражения равнозначны. И по определению это равно а. Или же мы можем записать это как композицию функции обратной f и функции f от а равно а. Именно об этом в первом выражении и говорится. Теперь посмотрим, как все это происходит вот здесь. Есть такой элемент а, принадлежащий множеству Х, который функция f отображает в элемент b. b – это то же самое, что и f(a). Затем под действием обратной функции… она, правда, не всегда существует, но если она есть, она отобразит f(a) обратно в а. По определению этот элемент должен вернуться на свое место. По сути, этот элемент делает круг и возвращается во множество Х. Именно это показывает тождественная функция. Только что мы разобрались с первым утверждением. Переходим ко второму. Здесь сказано, что если мы применим функцию f к обратной функции, то получим тождественную функцию на множестве У. Значит, мы начинаем с какой-то точки на множестве У, под действием обратной функции получаем какую-то точку на множестве Х. Если это у нас какой-то элемент у, тогда это будет функция обратная f от y. И теперь под действием функции, обратной f от у, мы вернемся к первоначальному элементу из множества У. Т.е. это равнозначно действию тождественной функции на множестве У. Именно об этом говорится во втором утверждении. Мы это также можем записать как f от функции обратной f от у (у – это элемент множества У) должно равняться у. Мы и ранее говорили об обратной функции, но в этот раз мы рассмотрели это понятие более подробно. Итак, предположим, у нас есть какая-то функция f, и существует обратная ей функция, которая удовлетворяет этим двум условиям, тогда получается, что f – это обратимая функция. Возникает вопрос: «Будет ли обратная функция уникальной?» А также вопрос: «Как узнать, обратима ли функция?» Но об этом мы поговорим в другой раз. А сейчас нас интересует, является ли обратная функция уникальной. И чтобы ответить на этот вопрос, давайте предположим, что она не уникальна. Если она не уникальна, следовательно, может быть две обратные функции, которые удовлетворяют этим двум условиям. Пусть первой обратной функцией будет g. Функция f отображает множество Х во множество У, а функция g отображает множество У во множество Х. Возьмем функцию f, а к ней применим функцию g… f из множества Х перенесет нас во множество У, а g из этого множества У вернет нас в Х. И в результате этих отображений должна получиться тождественная функция на множестве Х. Это часть определения обратной функции. А мы только что предположили, что g – это функция обратная f. Обратная функция – это функция, которая удовлетворяет этим условиям. Допустим, у нас есть еще одна обратная функция h, которая отображает множество У во множество Х. h – это другая обратная функция. И согласно определению эта обратная функция h должна также удовлетворять двум условиям. Первое – она должна отображать множество У во множество Х. А второе – композиция функций h и f должна равняться тождественной функции на множестве Х. Но это не все условия, которым должна удовлетворять функция. Здесь мы говорили о том, что композиция функции обратной f и функции f равна тождественной функции на множестве Х. А также композиция f и функции обратной f равна тождественной функции на множестве У. Значит, и здесь мы должны дописать, что функция f от g должна равняться тождественной функции на множестве У. Соответственно, и здесь мы дописываем, что функция f от h должна равняться тождественной функции на множестве У. Я предлагаю опять нарисовать множества и посмотреть еще раз, что делает функция и обратная ей функция. Допустим, это у нас множество Х, а это множество У. Мы знаем, что функция f отображает множество Х во множество У. И мы пытаемся доказать, что обратная функция является уникальной. Доказываем это от противного. Мы предположили, что на самом деле обратных функций у функции может быть несколько. Первая обратная функция – это g. Она удовлетворяет всем этим условиям. Значит, мы можем на рисунке показать, что функция функция g возвращает нас из множества У в исходную точку на множестве Х. Композиция функции f и обратной ей функции g равнозначна тождественной функции на множестве Х. Мы начинаем с множества Х и заканчиваем тоже множеством Х. Это у нас g. То же самое происходит и с функцией h. Функция f отображает какой-то элемент из множества Х во множество У, а функция h отображает этот элемент из множества У в исходный элемент из множества Х. Композиция функции f и обратной ей функции h также равнозначна тождественной функции на множестве Х. Только что мы показали на рисунке это утверждение и это. Теперь разберемся с оставшимися двумя. Если мы возьмем какое-то значение из множества У и применим функцию g (не забываем, что это обратная функция), то в итоге получим значение уже из множества Х. g переносит нас из множества У во множество Х. Но потом под действием функции f мы вернемся к тому же значению из множества У, с которого и начинали. То есть, по сути, это то же самое, что и тождественная функция на множестве У. Аналогичная ситуация и с функцией h. Берем точку из области У, функция h отображает ее в точку из области Х, а функция f отражает точку из Х в ту же самую точку из У. Вот мы и разобрались с этими всеми утверждениями. Теперь вернемся к нашему вопросу: «Может ли у одной функции быть две обратные функции?» Итак, начнем с функции g, напомню, что она отображает элементы множества Y во множество Х. Функция g – это то же самое, что и композиция тождественной функции на множестве Х и функции g. Что это означает? Давайте я быстренько нарисую множества. Это множество Х, а это У. g отображает множество У во множество Х. Вот так. g переносит нас из множества У во множество Х. И только что я сказала, что функция g равна композиции тождественной функции на множестве Х и функции g. Значит, функция g отобразила множество У во множество Х, а тождественная функция отобразила множество Х само в себя. То есть в результате мы получим одну и ту же точку. А как по-другому мы можем записать тождественную функцию на множестве Х? Мы можем воспользоваться обратной функцией h. Если h – это другая обратная функция, то выполняются следующие условия. И вот у нас здесь есть тождественная функция на множестве Х. Следовательно, мы можем заменить композицию функций g и f на тождественную функцию на множестве Х. Давайте так и сделаем. Тогда это будет равно функции h от f и от g (равно композиции функций h и f и еще g). Можно композицию первых функций взять в скобки (я нарисую скобки). Хотя скобки в принципе ни на что не влияют. Ведь когда-то я уже говорила, что композиция функций ассоциативна. А значит, что это равно композиции функции h и композиции функций f и g. А чему равна композиция функций f и g? Композиция функций f и g равна (из определения обратной функции g) тождественной функции на множестве У. Значит, это равно композиции h и тождественной функции на множестве Y. А что такое композиция h и тождественная функция на множестве У? Функция h отображает множество Y во множество X. Опять-таки я предлагаю все это продемонстрировать. Это множество Х, а это множество У. Функция h отображает множество У во множество Х. А как выглядит композиция функции h и тождественной функции на множестве У? Тождественная функция на множестве У отображает множество У во множество У, то есть само в себя. А потом функция h отображает множество У во множество Х. То есть по сути, это то же самое, что и просто функция h. Значит, здесь мы можем записать, что это равно h. Изначально мы предположили, что у одной функции может быть две обратные функции. Теперь вы видите, что эти функции равны, g должна быть равна h. Таким образом, у функции может быть только одна обратная функция. Обратная функция – уникальна. Мы только что это доказали. Надеюсь, вам понравилось сегодняшнее занятие. На этом все. До скорых встреч!

Пусть имеется функция у=f(x), Х - ее область определения, Y - область значений. Мы знаем, что каждому х 0  соответствует единственное значение у 0 =f(х 0), у 0 Y.

Может оказаться, что каждому у (или ее части  1) соответствует тоже единственное х из Х.

Тогда говорят, что на области  (или ее части  ) определена функция x=y обратная для функции у=f(x).

Например:

X=(); Y=}