Математика, которая мне нравится. Многочлены Как найти стандартный вид многочлена
Странно, что делается равенство между полиномом и многочленом. Хотя насколько я помню это разные вещи. Многочлен это то, о чём тут пишут. А полином это отношение 2-х многочленов. Посмотрел в словаре перевод на английский слова многочлен увидел, что переводится как polynomial чему был немало удивлён…. Выходит они даже не видят разницу. По поводу 1-го примера… Это всё хорошо, но есть ли способ непосредственного преобразования без ввода неизвестных коэффициентов? Этот метод слишком вычурный… О многочленах можно говорить много. Это выходит далеко за рамки ср школы. Исследования ведутся до сих пор! Т.е. тема многочленов не завершена. Могу ответить на вопрос о корнях в радикалах. В общем случае доказано, что многочлены степени выше 4 не имеют решения в радикалах. И вообще не решаются аналитически. Хотя некоторые виды вполне решаются. Но не все… Уравнение 3-ей степени имеет решение Кардано. У уравнения 4-й степени есть 2 вида формул. Они достаточно сложны и вобщем заранее неясно есть ли действительные решения, они все могут быть комплексными. У многочлена нечётной степени всегда есть хотя бы 1 действ корень. В теории формулы для решения уравнений даже 3-ей или 4-ой степени особого распространения не получили из-за их сложности. И возникает вопрос с тем какие из корней рассматривать. Ведь у уравнения n-ой степени ровно n корней с учётом их кратности. Вот к примеру можно решать методом ньютона численно уравнение. Там всё просто. Пишется итерационная формула и нет проблем. Линейное приближение. С осью OX прямая пересекается только в 1-ой точке. Может не пересекаться, тогда корень комплексный. Но тоже 1-й. Ну понятно, что если многочлен с действительными коэффиициентами имеет комплексный корень, то он так же имеет так же и комплексно сопряжённый. Однако уже в квадратичном приближении(этот метод именуется как метод парабол и др варианты этого метода Мюллера по 2-м предыдущим точкам и т.п) возникают проблемы. Во первых там 2 корня(мб если дискриминант > 0) еакой из них выбирать? Хотя уравнение квадратное. Можно пойти дальше взять кубическое приближение(4-й член в ряде Тейлора, для кв берётся 3) И даже приближение 4-ой степени взяв 5 членов ряда Тейлора. Сходимость будет супер быстрая. Аналитически всё решается! Но я нигде в математической литературе не встречал таких методов. Как правило пользуются методом Ньютона потому что он беспроблемный! И везде где в теории встречаются кубические или уравнения 4-ой степени такое имеет место быть. Хотите, сами попробуйте! Не думаю что вы будете в восторге. Хотя повторяю всё решается аналитически. Просто формулы будут оч сложные. Но не в этом дело. Возникают массы других проблем, не связанных со сложностью.
Многочленом от переменной х будем называть выражение вида anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 ,где n - натуральное число; аn, an-1,..., a1, a0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0 называются членами многочлена, а0 - свободным членом.
Часто будем употреблять и такие термины: an - коэффициент при хn, аn-1 - коэффициент при хn-1 и т.д.
Примерами многочленов являются следующие выражения: 0х4+2х3+ (-3) х3+ (3/7) х+; 0х2+0х+3; 0х2+0х+0. Здесь для первого многочлена коэффициентами являются числа 0, 2, - 3, 3/7, ; при этом, например, число 2 - коэффициент при х3, а - свободный член.
Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.
Так, например, многочлен 0х2+0х+0 - нулевой.
Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов???? - много и???? - член.
Многочлен от одной переменной х будем обозначать так: f (x), g (x), h (x) и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.
Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.
Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо f (x) =0x3+3x2+0x+5 пишут: f (x) =3x2+5; вместо g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Таким образом, каждое число - это тоже многочлен. Многочлен h (x), у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: h (x) =0 .
Коэффициенты многочлена, не являющиеся свободным членом и равные 1, тоже не записывают. Например, многочлен f (x) =2x3+1x2+7x+1 можно записать так: f (x) =x3+x2+7x+1.
Знак ‹‹-›› отрицательного коэффициента относят к члену, содержащему этот коэффициент, т.е., например, многочлен f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) записывают в виде f (x) =2x3-3x2+7x-5. При этом, если коэффициент, не являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед соответствующим членом, а единицу не пишут. Например, если многочлен имеет вид f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), то его можно записать так: f (x) =x3-x2+3x-1.
Может возникнуть вопрос: зачем, например, уславливаться о замене 1х на х в записи многочлена, если известно, что 1х=х для любого числа х? Дело в том, что последнее равенство имеет место, если х - число. В нашем же случае х - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х, ибо, повторяем х - это не число. Именно таким обстоятельством и вызваны условности в записи многочлена. И если мы дальше говорим все-таки о произведении, скажем, 2 и х без всяких оснований, то этим допускаем некоторую нестрогость.
В связи с условностями в записи многочлена обращаем внимание на такую деталь. Если имеется, например, многочлен f (x) =3х3-2х2-х+2, то его коэффициенты - это числа 3, - 2, - 1,2. Конечно, можно было бы сказать, что коэффициентами являются числа 0, 3, - 2, - 1, 2, имея в виду такое представление данного многочлена: f (x) =0x4-3x2-2x2-x+2.
В дальнейшем для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с отличного от нуля, в порядке их следования в записи многочлена. Так, коэффициентами многочлена f (x) =2x5-x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело в том, что хотя, например, член с х2 в записи отсутствует, это лишь означает, что его коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку он равен нулю.
Если имеется многочлен f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 и an?0 , то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут deg. f (x) =n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена.
Например, если f (x) =5x4-2x+3, то deg f (x) =4, старший коэффициент - 5, старший член - 5х4.
Рассмотрим теперь многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена? Легко заметить, что коэффициенты многочлена f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, n-1, n и если an?0, то deg f (x) =n . Значит, степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось). Вернемся теперь к многочлену f (x) =a , a?0, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все остальные коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена, отличных от нуля. Значит ст. f (x) =0.
Таким образом, многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля.
Осталось выяснить, как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени, т.е. что он не имеет степени. Такая условность вызвана некоторым обстоятельством, которые будут рассмотрены несколько позже.
Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f (x) =a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, как легко заметить, равна наибольшему показателю степени переменной х, коэффициент при которой равен нулю.
В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени f (x) =ax2+bx+ c называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида g (x) =x+c называется линейным двучленом.
§ 13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 165
13.1. Основные определения 165
13.2. Основные свойства целых многочленов 166
13.3. Основные свойства корней алгебраического уравнения 169
13.4. Решение основных алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел 173
13.5. Упражнения для самостоятельной работы 176
Вопросы для самопроверки 178
Глоссарий 178
Основные определения
Целой алгебраической функцией илиалгебраическим многочленом (полиномом )аргумента x называется функция следующего вида
Здесьn –степень многочлена (натуральное число или 0),x – переменная (действительная или комплексная),a 0 , a 1 , …, a n –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),a 0 0.
Например,
;
;
,
– квадратный трехчлен;
,
;.
Числох
0 такое, чтоP
n
(x
0)0, называетсянулем
функции
P
n
(x
)
иликорнем
уравнения
.
Например,
его корни
,
,
.
так как
и
.
Замечание (к определению нулей целой алгебраической функции)
В литературе
часто нули функции
называются ее корнями. Например, числа
и
называются корнями квадратичной функции
.
Основные свойствацелых многочленов
Тождество
(3) справедливо при x
(илиx
),
следовательно,
оно справедливо при
;
подставляя
,
получима
n
= b
n
.
Взаимно
уничтожим в (3) слагаемые а
n
и b
n
и поделим обе части на x
:
Это тождество тоже верно при x , в том числе при x = 0, поэтому полагая x = 0, получим а n – 1 = b n – 1 .
Взаимно уничтожим в (3") слагаемые а n – 1 и b n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим
Аналогично продолжая рассуждение, получим, что а n – 2 = b n –2 , …, а 0 = b 0 .
Таким образом, доказано, что из тождественного равенства двух целых многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .
Обратное утверждение
справедливо очевидно, то есть если два
многочлена имеют одинаковыми все
коэффициенты, то они есть одинаковые
функции, определенные на множестве
,
следовательно, их значения совпадают
при всех значениях аргумента
,
что и означает их тождественное равенство.
Свойство 1 доказано полностью.
Пример (тождественное равенство многочленов)
.
Запишем формулу деления с остатком: P n (x ) = (x – х 0)∙Q n – 1 (x ) + A ,
где Q n – 1 (x ) - многочлен степени (n – 1), A - остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».
Это
равенство верно при x
,
в том числе при x
= х
0 ;
полагая
,
получим
P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A A = P n (х 0)
Следствием доказанного свойства является утверждение о делении без остатка многочлена на двучлен, известное как теорема Безу.
|
Теорема Безу (о делении целого многочлена на двучлен без остатка) |
|
Если
число
|
является нулем многочлена
,
то этот многочлен делится без остатка
на разность
,
то есть верно равенство
(5) Доказательство
теоремы Безу можно провести без
использования ранее доказанного свойства
о делении целого многочлена
на
двучлен
.
Действительно, запишем формулу деления
многочлена
на двучлен
с остатком А=0:
Теперь учтем, что
- это нуль многочлена
,
и запишем последнее равенство при
:
Примеры (разложение многочлена на множители с использованием т. Безу)
1) ,так какP 3 (1)0;
2) ,так какP 4 (–2)0;
3) ,так какP 2 (–1/2)0.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.
Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом P n (x ):
после n -кратного применения этих теорем получим, что
где a 0 - это коэффициент приx n в записи многочленаP n (x ).
Если в равенстве (6)k
чисел из наборах
1 ,х
2 , …х
n
совпадают между собой и с числом,
то в произведении справа получается
множитель (x
–) k
.
Тогда числоx
=называетсяk-кратным
корнем многочлена
P
n
(x
)
,
или корнем кратности k
.
Еслиk
= 1, то число
называетсяпростым
корнем многочлена
P
n
(x
)
.
Примеры (разложение многочлена на линейные множители)
1) P 4 (x ) = (x – 2)(x – 4) 3 x 1 = 2 - простой корень, x 2 = 4 - трехкратный корень;
2) P 4 (x ) = (x – i ) 4 x = i - корень кратности 4.
Например, выражения:
a - b + c , x 2 - y 2 , 5x - 3y - z - многочлены.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Рассмотрим многочлен:
7a + 2b - 3c - 11
выражения: 7a , 2b , -3c и -11 - это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 . Он не содержит переменной. Такие члены, состоящие только из числа, называются свободными .
Принято считать, что любой одночлен - это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия - двучлен и трёхчлен соответственно:
7a - одночлен
7a + 2b - двучлен
7a + 2b - 3c - трёхчлен
Подобные члены
Подобные члены - одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом , знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
члены 3a 2 b , 2a 2 b и -2a 2 b , так же как и члены 5abc 2 и -7abc 2 - это подобные члены.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов . Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b ) + (5abc 2 - 7abc 2)
Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:
((3 + 2 - 2)a 2 b ) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b ) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2
Приведение подобных членов - это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.
Многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида - это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3
Сначала найдём подобные члены:
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место - справа.
Например, многочлен
3x + x 3 - 2x 2 - 7
должен быть записан так:
x 3 - 2x 2 + 3x - 7