Рассмотрим конкретный пример решения неравенства с тангенсом.
Решить неравенство tgx<-1
Таким образом, решение неравенства tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn).
Предположим что x - это просто действительное число. Записывают это так: x∈ℝ - читается x принадлежит множеству действительных чисел. Всему множеству, элемент 0 тоже туда входит. И никакого подвоха с элементами x тут нет: бесконечность не является частью множества, которому принадлежит x, при этом x не является первообразной.
Предложу ещё один вариант решения, пока не упомянутый здесь:
Для начала введем некоторое определение:
Группой является множество элементов произвольной природы с введённой между ними (единственной!) операцией (обозначаемой в данном случае +), обладающей следующими свойствами:
(Обозначим нашу группу буквой G)
1) Замкнутость: ∀x,y ∈ G ⇒ x+y ∈ G. Читается так: для любых двух элементов x и y из группы G следует что их сумма так же является элементом группы G
2) Ассоциативность: ∀x,y,z ∈ G ⇒ (x+y)+z = x+(y+z). Читается так: для любых трёх элементов x,y,z принадлежащих группе G следует что можно сперва применить групповую операцию к элементам x и y, и в результате получить некоторый элемент (x+y) ∈ G, а затем применить групповую операцию к элементам (x+y) и z. Полученный в результате элемент должен быть равен элементу, который был получен в результате применения операции сперва к y и z, а затем к x и (y+z). То есть говоря проще перестановка скобок не меняет результата: (x+y)+z = x+(y+z)
3) ∀x ∈ G ⇒ ∃e ∈ G: x + e = e+ x = x. Читается так: В группе должен быть элемент e (называемый единицей группы), такой, что если применить групповую операцию e + x, а затем x + e - должен получаться один и тот же элемент x. То есть единица группы при прибавлении слева и справа не "сдвигает" элемент группы.
4) ∀x ∈ G ⇒ ∃x⁻¹: x + x⁻¹ = x⁻¹ + x = e. Читается так: У любого элемента x в группе G есть обратный, такой, что результат операции между x и x⁻¹ слева и справа равен единице группы.
Нужно понимать, что операция + в группе может быть совершенно любой. Символ + это всего лишь обозначение данной операции. Правильнее всего сказать что x+y = f(x,y)
где f - некоторая функция, возвращающая элемент группы.
Примеры групп и не групп. (Этот абзац можно пропустить):
Например множество ℤ (целых чисел) является группой если ввести в ней операцию обычного привычного всем нам сложения. Она замкнута, для любого x ∈ ℤ обратным является элемент -x, т.к. x + (-x) = 0. В качестве единицы группы выступает 0. И ассоциативность, разумеется, выполняется.
Однако если рассматривать множество ℤ с введенной на ней операцией стандартного умножения, то такая структура уже не будет являться группой - несмотря на то что имеется единица: x*1 = x и она ассоциативна: (x*y)*z = x*(y*z), во множестве целых чисел не существует обратных элементов ни для каких эементов кроме единицы. Действительно. Например обратным относительно умножения элементом для числа 4 является 1/4, т.к. 4 * (1/4) = 1. Но 1/4 не входит во множество целых чисел. 1/4 - это рациональное число.
Но если убрать из множества ℚ (рациональных чисел) элемент 0, то если ввести на ℚ операцию стандартного умножения, то ℚ будет группой, т.к. там есть и обратные и единица и она ассоциативна и замкнута.
Таким образом попробуем посмотреть. какой должна быть операция на множестве ℝ (действительных чисел), чтобы в нём существовало решение уравнения x⊕1=x. Где ⊕ - это обозначение групповой операции.
Введём операцию x⊕y = x+y-1
Тогда единицей нашей группы будет элемент 1, т.к. x⊕1 = 1⊕x = x + 1 - 1 = x.
То есть x⊕1 = x.
Обратным будет элемент: (2-x), т.к. x⊕(2-x) = (2-x)⊕x = x + (2-x) - 1 = 1 (единица группы)
Ассоциативность, очевидно. выполнена:
(x⊕y)⊕z = (x + y - 1)⊕z = x + y - 1 + z - 1 = x + y + z - 2
x⊕(y⊕z) = x⊕(y+z-1) = x + y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 = (x⊕y)⊕z
Кроме того легко видеть что наша группа замкнута относительно введённой операции.
Итак, мы проверили что множество с введённой нами операцией является группой, посмотрим, как там поживает наше уравнение, если x принадлежит построенной нами группе.
x⊕1 = x. Но когда мы проверяли является ли построенная нами структура группой уже выяснили, что 1 в нашей группе является единицей группы и свойство x⊕1=x в ней очевидно выполняется для любых элементов построенной нами группы.
Занятно, что в построенной нами группе 0⊕0 = -1:)
Автор, очевидно, намекал, что операция + является сложением. Но с точки зрения теории групп - множество ℝ с введенной в ней операцией обычного сложения ничем не отличается от множества ℝ/{0} (множество действительных чисел, но в нём убрали один элемент - 0) с введённой в ней операцией привычного умножения. И в алгебре + обычно означает что используется именно множество ℝ (без выкидывания нуля). В решении это учтено - в самом начале я упомянул, что 0∈ℝ.
Если бы ни это условие, можно было бы просто считать что x⊕y = x*y.
В статье рассмотрим решение неравенств
. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств
, на понятных примерах!
Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.
Общи сведения о неравенствах
Неравенством
называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x)
a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x)
Неравенства, содержащие знак > или
или - нестрогими.
Решением неравенства
является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство
" означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств
. Для решения неравенства
пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства
x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-
+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x }
