Критерий существования обратной матрицы. Обратная матрица

Матрицу А -1 называютобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной , илиособенной .

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы : обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А -1 , т.е. А -1 * А = Е. Тогда |А -1 * А| = |А -1 | * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А|0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу, которую называютприсоединенной (взаимной, союзной):
.

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной
. Получим
. Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что
.

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом
, т.е.
.

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А -1 . Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А -1 .

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А - вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А Т.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

Проверку опустим.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

1) |А -1 | = 1/|А|

2) (А -1) -1 = А

3) (А m) -1 = (А -1) m

4) (АB) -1 =B -1 * А -1

5) (А -1) T = (А T) -1

Ранг матрицы

Минором k -го порядка матрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицыk-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. kmin{m;n}. Например, из матрицы А 5х3 можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангом матрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, илиr(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А)min{m;n};

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е.r(А) = 0А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е.r(А) = n|А|0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А)2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными :

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5). Транспонирование.

Если матрица А получена из матрицы Bэлементарными преобразованиями, то эти матрицы называютэквивалентными и обозначают АВ.

Теорема . Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу ), т.е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а 11 = 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а 11 0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а 11 0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строкеa 21 = 0. В третьей строкеa 31 = -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т.е. на (-а 31 /а 11) = -(-4)/2 = = 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а 41 /а 11) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а 22 0 (если бы было а 22 = 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а 32 /а 22) = (-а 42 /а 22) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной .

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

13. Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1 , c 2 , …, c n справедливо равенство:

Система линейных уравнений:

§6. Свойства определителей

§7. Обратная матрица

Невырожденная и вырожденная матрицы

Обратная матрица

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы по формуле

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

§ 6. Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

Следствие 1. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, ее определитель умножится на это число.

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель какой-либо строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить лишь общий множитель всех элементов.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель матрицы не измениться, если к какой либо строке (столбцу) прибавить другую строку 9столбец), умноженную на число.

6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е.

Замечание. Даже если А ∙В ≠ В ∙А , .

Итак, используя свойства определителей, можно всякий определитель свести к треугольному виду. Рассмотрим этот процесс на примере.

Пример. Вычислить определитель

Решение .

§ 7. Обратная матрица

Для каждого числа а ¹ 0 существует обратное число а –1 такое, что а · а –1 = 1. Для квадратных матриц вводиться аналогичное понятие.

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Квадратная матрица А называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица А –1 называется обратной для квадратной матрицы А , если их произведение как слева, так и справа равное единичной матрице:

А · А –1 = А –1 · А = Е .

В отличие от чисел, не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденная.

Матрица, обратная для данной.

Не всякая матрица имеет обратную.

Теорема 1 . Простейшие свойства обратной матрицы.

1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.

2°. E –1 = E .

3°. (A –1) –1 = A .

4°. (AB ) –1 = B –1 A –1 .

Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.

Теорема 2 . Критерий обратимости матрицы.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Лемма 1 . Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Лемма 2 . Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.

Лемма 3 . Если строки (столбцы) матрицы A (B ) линейно зависимы и C = AB , то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С .

Практический способ вычисления обратной матрицы:

A |E ... E |A –1 .

Матричные уравнения.

Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.

Перестановки и подстановки

Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.

Теорема . Свойства транспозиций.

1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.

2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.

Подстановки. S n . Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1) s (p) .

Определение определителя

Определение определителя.

Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.

Свойства определителя

Теорема . Свойства определителя.

1°. det t A = detA .

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.

6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.

7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.

10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.

Примечание . Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.

Следствие 1 . Критерий невырожденности матрицы.

Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Следствие 2 . Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу

Минор M ij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij квадратной матрицы.

Теорема о разложении.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn , det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

для любых k =

Этапы доказательства

1. Для матрицы, в которой A n = e n , по определению det.

2. Для матрицы, в которой A i = e j , путём сведения к случаю 1, учётом знака A i и неизменности M ij .

3. Общий случай путём представления A i в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.

Ещё одно свойство определителя

11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn , a 1 k A 1 p +a 2 k A 2 p + ... +a nk A np , если k ¹ p .

4.1 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (или неособенной ), если det A ≠ 0. В противном случае матрица А – вырожденная (или особенная ). Матрица A является обратной для квадратной невырожденной матрицы А , если A A AA E , где E ‑ единичная матрица порядка n :

.

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная .

Доказательство . Необходимость . Пусть матрица А имеет обратную A , т. е. A A AA E . По свойству 10 определителей имеем D (A A ) = D (A ) D (А ) D (E ) = 1 и, следовательно, D (А ) 0.

Достаточность . Пусть D (А ) 0. Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка , называемую присоединенной . Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А :

.

Легко показать, что

.

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A , то произведения A A и AA равны единичной матрице E n -го порядка: A A AA E .

Рангом матрицы А (обозначается rang А или r (A )) является наибольший порядок порожденных ею миноров (определителей), отличных от нуля. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется ее базисным минором . Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также будут базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров, однако все их порядки одинаковы и равны рангу матрицы.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) строки и столбцы матрицы поменять местами;

2) переставить местами два любых ее столбца (строки);

3) удалить из нее столбец (строку), все элементы которого равны нулю;

4) удалить из нее столбец (строку), являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов (строк);

5) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;

6) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.

Преобразования 2) ‑ 6) называются элементарными . Две матрицы являются эквивалентными , если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается как А ~В .

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) r (A + В ) r (A ) + r (B ),