Открытые и замкнутые множества примеры. Множество замкнуто относительно операции
Типы множеств вещественной прямой
Положение точки относительно множества A
Односторонние окрестности
Топология вещественной прямой
Числовые множества
Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).
Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.
Супремумом множества A, sup A называется …
… наименьшая из его мажорант;
… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;
Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).
Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)
1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.
Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.
2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.
3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).
Окрестности:
U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Проколотые окрестности:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }