Решить по формуле кардано уравнение третьей степени. Решение кубических уравнений
См. также: Тригонометрическая формула Виета
Сведение кубического уравнения к приведенному виду
Рассмотрим кубическое уравнение:
(1)
,
где .
Разделим его на :
(2)
,
где ,
,
.
Далее считаем, что ,
и - есть действительные числа.
Приведем уравнение (2) к более простому виду. Для этого сделаем подстановку
.
;
;
.
Приравняем коэффициент при к нулю. Для этого положим
:
;
;
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(3)
,
где
(4)
;
.
Вывод формулы Кардано
Решаем уравнение (3). Делаем подстановку
(5)
:
;
;
;
.
Чтобы это уравнение удовлетворялось, положим
(6)
;
(7)
.
Из (7) имеем:
.
Подставим в (6):
;
.
Решаем квадратное уравнение.
(8)
.
Возьмем верхний знак “+”:
,
где мы ввели обозначение
.
Из (6) имеем:
.
Итак, мы нашли решение приведенного уравнения в следующем виде:
(5)
;
(9)
;
(10)
;
(7)
;
(11)
.
Такое решение называется формулой Кардано
.
Если мы, при выборе знака квадратного корня в (8), возьмем нижний знак, то и поменяются местами и мы не получим ничего нового. Величины и равны кубическим корням, поэтому они имеют по три значения. Из всех возможных пар и нужно выбрать такие, которые удовлетворяют уравнению (7).
Итак, алгоритм решения приведенного кубического уравнения
(3)
следующий.
1) Вначале мы определяем любое значение квадратного корня .
2) Вычисляем три значения кубического корня .
3) Используя формулу (7), для каждого значения ,
вычисляем значение :
.
В результате получаем три пары величин и .
4) Для каждой пары величин и ,
по формуле (5) находим значения корней приведенного уравнения (3).
5) Рассчитываем значения корней исходного уравнения (1) по формуле
.
Таким способом мы получаем значения трех корней исходного уравнения. При два или три корня являются кратными (равными).
На шаге 3) данного алгоритма можно поступить по другому. Мы можем вычислить три значения величины по формуле (10). И далее составить три пары корней и так, чтобы для каждой пары выполнялось соотношение
(7)
.
Случай Q ≥ 0
Рассмотрим случай . При этом и являются действительными числами. Введем обозначения. Пусть и обозначают действительные значения кубических корней.
Найдем остальные значения корней и .
Запишем и в следующем виде:
;
,
где - есть целое число;
- мнимая единица, .
Тогда
.
Присваивая значения ,
получаем три корня:
,
;
,
;
,
.
Точно также получаем три корня :
;
;
.
Теперь группируем и в пары, чтобы, для каждой пары выполнялось соотношение
(7)
.
Поскольку ,
то
.
Тогда
.
Отсюда получаем первую пару: .
Далее замечаем, что
.
Поэтому
;
.
Тогда и являются еще двумя парами.
Теперь получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.
Их также можно записать в следующем виде:
(12)
;
.
Эти формулы называются формулой Кардано.
При ,
.
Два корня являются кратными:
;
.
При все три корня являются кратными:
.
Случай Q < 0
Если мы проследим вывод формулы (12), то увидим, что весь вывод сохранит силу и при отрицательном значении .
То есть и могут быть комплексными. Тогда для и можно выбрать любые значения кубических корней, между которыми выполняется соотношение
.
Формула Кардано для решения кубического уравнения
Итак, мы установили, что корни приведенного кубического уравнения
являются более удобной.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или 
и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
.
Эта формула известная как формула Кардано .
Тригонометрическое решение
подстановкой приводится к "неполному" виду
, , 
.
(14)
Корни , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны
, 
,
, 
,
.
Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если ("неприводимый" случай), то и
,
,
.
(b) Если , , то
, 
.
(с) Если , , то
, ,
,
.
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
где
a, b, c – некоторые действительные числа,
называется биквадратным
уравнением
.
Заменой уравнение
сводится к квадратному уравнению 
с
последующим решением двух двучленных
уравнений и ( и -
корни соответствующего квадратного
уравнения).
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
Если , ), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:
.
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
, 
.
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари .
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:
Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.
,
или
Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид
,
а само уравнение сводится к двум квадратным:
.
Их корни и дают все решения исходного уравнения.
Решим для примера уравнение
Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде
и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:
Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:
или, после упрощения,
Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение
откуда .
Корни образовавшихся квадратных
уравнений - 
и 
.
Разумеется, в общем случае могут
получиться и комплексные корни.
Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.
Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.
Навигация по странице.
Решение двучленного кубического уравнения.
Двучленное кубическое уравнение имеет вид .
Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент А
, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:
Из первой скобки находим , а квадратный трехчлен 
имеет лишь комплексные корни.
Пример.
Найти действительные корни кубического уравнения .
Решение.
Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:
Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Ответ:
Решение возвратного кубического уравнения.
Возвратное кубическое уравнение имеет вид , где А и В – коэффициенты.
Проведем группировку:
Очевидно, что х = -1
является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена 
легко находятся через дискриминант.
Пример.
Решить кубическое уравнение 
.
Решение.
Это уравнение возвратное. Проведем группировку:
Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.
Находим корни квадратного трехчлена :
Ответ:
Решение кубических уравнений с рациональными корнями.
Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения .
В этом случае свободный член D
равен нулю, то есть уравнение имеет вид 
.
Если вынести х
за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета 
.
Пример.
Найти действительные корни уравнения 
.
Решение.
x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена .
Так как его дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.
Ответ:
х=0 .
Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.
При , домножим обе части уравнения на и проведем замену переменных y = Ax
:
Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель , при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является .
Пример.
Найти корни кубического уравнения .
Решение.
Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной y = 2x
.
Свободный член равен 36 . Запишем все его делители: .
Подставляем их по очереди в равенство 
до получения тождества:
Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует .
Разделим 
на , используя :
Получаем,
Осталось найти корни квадратного трехчлена .
Очевидно, что 
, то есть, его кратным корнем является х=3
.
Ответ:
.
Замечание.
По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.
В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы .
Решение кубических уравнений по формуле Кардано.
В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.
Для кубического уравнения находятся значения 
. Далее находим 
и 
.
Подставляем полученные p
и q
в формулу Кардано:
Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.
Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0
Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что
x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0
Результат первой скобки примет вид x = - B A 3 , а квадратный трехчлен - x 2 - B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.
Пример 1
Найти корни кубического уравнения 2 x 3 - 3 = 0 .
Решение
Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0
Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0
Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.
Ответ: x = 3 3 2 6 .
Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0
Вид квадратного уравнения - A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что
A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A
Корень уравнения равен х = - 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B - A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.
Пример 2
Решить уравнение вида 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0 .
Решение
Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что
5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0
Если х = - 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 - 13 x + 5:
5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10
Ответ:
x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1
Решение кубических уравнений с рациональными корнями
Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .
Пример 3
Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .
Решение
Упростим выражение.
3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0
Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что
D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.
Ответ: х = 0 .
Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х:
A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2
Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x - x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.
Пример 4
Решение
Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х. Получаем, что
2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0
Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36
Необходимо произвести подстановку y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида
1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 · (- 1) 2 + 24 · (- 1) + 36 = 0
Отсюда видим, что у = - 1 – это корень. Значит, x = y 2 = - 1 2 .
Имеем, что
2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9
После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 - 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 , где х = 3 будет его корнем.
Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .
Замечание
Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что - 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.
Решение кубических уравнений по формуле Кардано
Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .
После чего p = - B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 .
Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3
Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению - p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y - B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.
Пример 5
Найти корни заданного уравнения 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .
Решение
Видно, что A 0 = 2 , A 1 = - 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .
Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = - 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .
Отсюда следует, что
p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 11 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108
Производим подстановку в формулу Кордано и получим
y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3
343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.
343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2
Если k = 0 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2
Если k = 1 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6
Если k = 2 , тогда - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2
Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим - p 3 = 49 36 .
Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 - i · 3 2 , - 7 6 и - 7 6 , 7 6 1 2 - i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .
Преобразуем при помощи формулы Кордано:
y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6
x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3
Ответ: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3
При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter