Уравнение линии на. Уравнение линии как геометрического места точек
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).
В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).
Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).
Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или
После преобразований получим
Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .
Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.
Различные виды уравнения прямой:
1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :
y = kx + b ,
где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).
Особые случаи:
– прямая проходит через начало координат (рис.4):
– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:
y=+x, y=-x;
– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):
y=b, y=0;
– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):
x=a, x=0;
2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):
Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.
Пример А(3,-2) :
а) под углом к оси ОХ;
б) параллельно оси OY.
Решение .
а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;
б) х=3.
3) проходящей через две данные точки (рис. 8):
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).
Решение . ,
4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):
где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).
Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):
Откуда a=1,5.
Окончательно получим:
Или y=-2x+3.
5) общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0,
где a и b не равны одновременно нулю.
Некоторые важные характеристики прямых :
1) расстояние d от точки до прямой:
2) угол между прямыми и соответственно:
3) условие параллельности прямых:
или .
4) условие перпендикулярности прямых:
или .
Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.
Решение . Рисунок 11.
1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :
из условия параллельности ;
взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;
т.о. 3x+2y+C=0;
значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),
3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;
уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.
2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;
подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;
уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.
3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:
Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:
3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).
Составить уравнение биссектрисы угла АВС .
Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:
Откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).
По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.
Получаем два уравнения
x+7y+8=0, 7x-y+56=0.
Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.
В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.
Определение уравнения прямой на плоскости
Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у.
Определение 1
Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.
Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.
Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.
Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Теорема 1
Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А, В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .
Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .
Поясним некоторые важные аспекты темы.
Пример 1
Посмотрите на рисунок.
Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y - 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y - 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.
Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А, В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .
Вывод: при некотором наборе значений чисел А, В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у.
Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .
Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.
Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.
Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.
Пример 2
Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y - 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , - 5 2 , соединяем их между собой.
Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .
Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .
Определение 2
Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).
Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .
Пример 3
Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x - 1 .
Эта линия должна пройти через точку (0 , - 1) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3
Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.
Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.
Данный вид уравнения имеет вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y - это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.
Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 (x 1 , y 1) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x - x 1 a x = y - y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 (x 1 , y 1) и имеющей направляющий вектор a → = (a x , a y) .
Пример 4
Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x - 2 3 = y - 3 1 . Точка M 1 (2 , 3) принадлежит прямой, вектор a → (3 , 1) является направляющим вектором этой прямой линии.
Каноническое уравнение прямой линии вида x - x 1 a x = y - y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x - x 1 a x = y - y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x - x 1 0 = y - y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.
Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x - x 1 a x = y - y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.
Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y - это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.
Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .
Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .
Пример 5
Предположим, что λ = 0 .
Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами (x 1 , y 1) принадлежит прямой.
Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.
Пример 6
Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку (x 1 , y 1) и имеет направляющий вектор a → = (3 , 1) .
Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».
Нормальное уравнение прямой имеет вид, A x + B y + C = 0 , где числа А, В, и C таковы, что длина вектора n → = (A , B) равна единице, а C ≤ 0 .
Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у, является вектор n → = (A , B) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = (A , B) .
Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y - p = 0 , где cos α и cos β - это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = (cos α , cos β) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.
Пример 7
Рассмотрим общее уравнение прямой - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = - 3 ≤ 0 .
Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты - 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = - 1 2 , 3 2 .
Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.
Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А, В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1 0 . Полярная система координат . Будем говорить, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбрана точкаO – полюс, луч, выходящий из полюсаO – полярная ось и масштабный отрезок.
Пусть M
–
произвольная точка плоскости, не
совпадающая с полюсомO
(рис.3.4 хх). Первой полярной координатой
точкиM
(полярным
радиусом) называется расстояние от
точкиM
до полюсаO
.
второй полярной координатой точкиM
(или амплитудой) называется угол
от полярной оси (луча
)
до лучаOM
. Для точкиO
считают
,
– произвольное число.
Из определения полярных координат и их геометрического смысла следует, что
Значения второй
координаты, лежащие в пределах
называют главные значением угла
.
Замечание
. В полярной
системе координат нет взаимно однозначного
соответствия между точками плоскости
и упорядоченной парой чисел (
,
):
(
,
)
соответствует единственная точка
плоскости, но
соответствует бесчисленное множество
пар (
,
+
).
Задать точку M
в полярной системе координат означает
задать два числа
и
:M
(
,
).
Установим связь между декартовыми и полярными координатами (одной и той же) точки M .
Для этого введем
оси
и
как показано на рис.3.5 хх. Масштабный
отрезок полярной системы
примем и за масштабный отрезок декартовой
системы
.
Пусть
– декартовы,
– полярные координаты некоторой точкиM
. Тогда
и обратно,
По формулам (3.2) переходят от полярных координат к декартовым, по (3.2’) – от декартовых координат к полярным.
2 0 . Понятие линии и ее уравнения. Понятие линии является одним из самых трудных понятий математики. Общее определение линии дается в топологии (одном из разделов математики). Получено оно было в двадцатые годы прошлого столетия советским математиком П.С.Урысоном.
Здесь мы не будем заниматься определением линии ; дадим лишь определение того, что называетсяуравнением линии .
Определение 1 . Уравнением линии (обозначают (L ), либоL – без скобок) в декартовой системе координат называется уравнение
,
(3.3)
которому удовлетворяют
координаты
всех точек
и только координаты таких точек (то есть
координаты точек, не лежащих на линииL
, не удовлетворяют
(3.3) – не обращают его в тождество).
В частности, уравнение линии L может иметь вид:
.
(3.3’)
Определение 2 . Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение
,
(3.4)
которому удовлетворяют полярные
координаты
всех точек
и только координаты таких точек.
В частности, уравнение линии L в полярных координатах может иметь вид:
.
(3.4’)
Определение 3 . Параметрическими уравнениями линииL в декартовой системе координат называются уравнения вида
(3.5)
где функции
и
имеют одну и ту же область определения
– промежутокT
.
соответствует точка
рассматриваемой линииL
и
соответствует некоторому значению
(то есть
такое, что
и
будут координатами точкиM
).
Замечание 1 . Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах.
Замечание 2 . В курсе аналитической геометрии (на плоскости) рассматриваются две основные задачи:
1) известны геометрические свойства некоторой линии на плоскости; составить ее уравнение;
2) известно уравнение линии L ; построить эту линию, установить ее геометрические свойства.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
. Найти уравнение
окружностиL
радиусаR
, центр которой
находится в точке
(рис.3.6 хх).
Замечание.
Прежде, чем
переходить к решению задачи, сделаем
замечание (которому надо следовать и в
дальнейшем): решение задачи на определение
геометрического места точек начинается
с введения произвольной («текущей»)
точки с координатами
этого геометрического места.
Решение
. Пусть точка
– произвольная точка окружностиL
.
По определению, окружность есть
геометрическое место точек, равноудаленных
от фиксированной точки – ее центра:CM
=
R
.
По формуле (2.31) (в ней надо положить
)
находим:
(3.6)
.– уравнение искомой окружности.
Если центр С
лежит в начале
координат, то
и уравнение
(3.6’)
есть уравнение такой окружности.
Пример 2
. Пусть криваяL
задана уравнением:
.
Построить эту кривую; установить,
проходит ли она через точку
?
через точку
?
Решение
. Преобразуем левую
часть данного уравнения, выделив в ней
полные квадраты:или
– это уравнение определяет окружность
с центром в точке
радиуса
.
Координаты точки
удовлетворяют уравнению окружности:– точкаO
лежит на
окружности; координаты же точки
не удовлетворяют уравнению окружности.
Пример 3
. Найти геометрическое
место точек, отстоящих от точки
вдвое дальше, чем от точки
.
Решение
. Пусть
– текущая точка (искомого) геометрического
места. Тогдаи из условия задачи пишем уравнение:.
Возведем это равенство в квадрат и преобразуем:
– искомое место есть окружность
с центром в точке
и радиусомR
=10.
Приведем примеры на определение уравнений линий в полярной системе координат.
Пример 4 . Составить уравнение окружности радиусаR с центром в полюсеO .
Решение
. Пусть
есть произвольная точка окружностиL
(рис.3.7 хх). Тогда
или
(3.7)
– этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на окружности L , и не удовлетворяют точки, не лежащие на ней.
Пример 5
. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно полярной оси (рис.3.8 хх).
Решение
. Из прямоугольного
треугольникаOAM
следует, что
– имеем уравнение прямой в полярной
системе координат.
Замечание
. Уравнение прямой
в декартовой системе координат:
;
подставляя
из (3.2), получим
или
.
Пример 6 . Построить кривую.
Решение
. Заметим, что кривая
симметрична относительно полярной оси:
=
=
=
.
Поэтому если точка
,
то и точка
.
Даем полярному углу
различные значения от
=0
до
=
и определяем соответствующие этим углам
значения
.
Запишем это в виде таблицы 1.
Таблица 1.
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Из точки O
проводим лучи
,
,…,
,
и откладываем на них отрезки
,
,…,
,
.
Через полученные точки
,
,…,
,
проводим плавную линию – получим верхнюю
половину кривой. Нижнюю достраиваем
симметричным отражением верхней
относительно полярной оси.
Полученная замкнутая кривая (рис.3.9 хх) называется кардиоидой (сердцеобразной).
Пример 7
. Записать уравнение
линии
(равнобочной гиперболы) в полярной
системе координат.
Решение
. Заменяяx
иy
по формулам (3.2),
получим,
и
есть уравнение заданной линии в полярной
системе координат.
Пример 8
. Записать уравнение
кривой
в прямоугольной декартовой системе
координат.
Решение
. Запишем уравнение
кривой в виде
.
По формулам (3.2’) преобразуем его к виду
;
возводя это равенство в квадрат, после
несложных преобразований придем к
уравнению
– эта кривая называется параболой (см.
ниже).
Пример 9
. Приведем пример
на параметрическое задание кривой.
Пусть дана окружность радиусаR
с центром в начале координат и пусть
– декартовы координаты текущей точкиM
:M
.
Пусть, далее,
– полярные координаты той же точки. По
формулам (3.2) тогда
где параметр t
принимает все значения от 0 до
,
есть параметрическое уравнение искомой
окружности.
Если центр С
окружности
взят в точке с координатами
,
то, как нетрудно показать, формулы
дают параметрические уравнения соответствующей окружности.
1. Уравнение линии на плоскости
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какойлибо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f (x ) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
2. Уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ax + By + C = 0 , причем постоянные A , B не равны нулю одновременно, т.е.
A 2 + B 2 ≠ 0 . Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
– прямая проходит через начало координат
C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0{ By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
B = 0, A ≠ 0,C ≠ 0{ Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
B = C = 0, A ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу
A = C = 0, B ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А,В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ax + By + C = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) перпендикулярно вектору n (3, − 1) .
Составим при А=3 и В=-1 уравнение прямой: 3x − y + C = 0 . Для нахождения коэффициента
С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 − 2 + C = 0 , следовательно С=-1.
Итого: искомое уравнение: 3x − y − 1 = 0 .
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2, y2 , z2 ), тогда уравнение прямой,
проходящей через эти точки: |
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||||||
− x |
− y |
− z |
|||||||||
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) , если x 2 − x 1
x 1 ≠ x 2 и x = x 1 , если x 1 = x 2 .
Дробь y 2 − y 1 = k называется угловым коэффициентом прямой. x 2 − x 1
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 привести к виду:
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор а (α 1 ,α 2 ) , компоненты которого удовлетворяют условию A α 1 + B α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ax + By + C = 0 .
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1,-1) и проходящей через точку А(1,2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0 . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (− 1) B = 0 , т.е. A = B . Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0 , или x + y + C / A = 0 . при х=1, у=2 получаем С/A=-3, т.е. искомое уравнение: x + y − 3 = 0
7. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0,C ≠ 0 , то, разделив на –С,
получим: − |
х− |
у = 1 или |
1, где a = − |
b = − |
|||||||||
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
8. Нормальное уравнение прямой
называется нормирующем множителем, то получим x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ C < 0 .
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
9. Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = − 1/ k 2 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 ,у1 ) и перпендикулярная к прямой y = kx + b представляется уравнением:
y − y = − |
(x − x ) |
|||||||||||
10. Расстояние от точки до прямой |
||||||||||||
Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ax + By + C = 0 |
||||||||||||
определяется как d = |
Ax0 + By0 + C |
|||||||||||
Пример. Определить угол между прямыми: y = − 3x + 7, y = 2x + 1. |
||||||||||||
k = − 3, k |
2 tg ϕ = |
2 − (− 3) |
1;ϕ = π / 4. |
|||||||||
1− (− 3)2 |
||||||||||||
Пример. Показать, |
что прямые 3 x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0 |
|||||||||||
перпендикулярны. |
||||||||||||
Находим: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0 ; 1) , B (6 ; 5) , C (1 2 ; - 1) .
Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. |
|||||||||||
Находим уравнение стороны AB : |
x − 0 |
y − 1 |
y − 1 |
; 4x = 6 y − 6 |
|||||||
6 − 0 |
5 − 1 |
||||||||||
2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 3 2 Тогда
y = − 3 2 x + b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: − 1 = − 3 2 12 + b , откуда b=17. Итого: y = − 3 2 x + 17 .
Ответ: 3x + 2 y − 34 = 0 .
Рассмотрим функцию, заданную формулой (уравнением)
Этой функции, а следовательно, и уравнению (11) соответствует на плоскости вполне определенная линия, которая является графиком данной функции (см. рис. 20). Из определения графика функции следует, что эта линия состоит из тех и только тех точек плоскости координаты которых удовлетворяют уравнению (11).
Пусть теперь
Линия, являющаяся графиком этой функции, состоит из тех и только тех точек плоскости координаты которых удовлетворяют уравнению (12). Это значит, что если точка лежит на указанной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12). Если же точка не лежит на этой линии, то ее координаты уравнению (12) не удовлетворяют.
Уравнение (12) разрешено относительно у. Рассмотрим уравнение, содержащее х и у и не разрешенное относительно у, например уравнение
Покажем, что и этому уравнению в плоскости соответствует линия, а именно - окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2. Перепишем уравнение в виде
Его левая часть представляет собой квадрат расстояния точки от начала координат (см. § 2, п. 2, формула 3). Из равенства (14) следует, что квадрат этого расстояния равен 4.
Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (14), а значит и уравнению (13), находится от начала координат на расстоянии, равном 2.
Геометрическое место таких точек есть окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Эта окружность и будет линией, соответствующей уравнению (13). Координаты любой ее точки, очевидно, удовлетворяют уравнению (13). Если же точка не лежит на найденной нами окружности, то квадрат ее расстояния от начала координат будет либо больше, либо меньше 4, а это значит, что координаты такой точки уравнению (13) не удовлетворяют.
Пусть теперь, в общем случае, дано уравнение
в левой части которого стоит выражение, содержащее х и у.
Определение. Линией, определяемой уравнением (15), называется геометрическое место точек плоскости координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Это значит, что если линия L определяется уравнением то координаты любой точки L удовлетворяют этому уравнению, а координаты всякой точки плоскости лежащей вне L, уравнению (15) не удовлетворяют.
Уравнение (15) называется уравнением линии
Замечание. Не следует думать, что любое уравнение определяет какую-нибудь линию. Например, уравнение не определяет никакой линии. В самом деле, при любых действительных значениях и у левая часть данного уравнения положительна, а правая равна нулю, и следовательно, этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки плоскости
Линия может определяться на плоскости не только уравнением, содержащим декартовы координаты, но и уравнением в полярных координатах. Линией, определяемой уравнением в полярных координатах, называется геометрическое место точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Пример 1. Построить спираль Архимеда при .
Решение. Составим таблицу для некоторых значений полярного угла и соответствующих им значений полярного радиуса .
Строим в полярной системе координат точку , которая, очевидно, совпадает с полюсом; затем, проведя ось под углом к полярной оси, строим на этой оси точку с положительной координатой после этого аналогично строим точки с положительными значениями полярного угла и полярного радиуса (оси для этих точек на рис. 30 не указаны).
Соединив между собой точки получим одну ветвь кривой, обозначенную на рис. 30 жирной линией. При изменении от 0 до эта ветвь кривой состоит из бесконечного числа витков.