Урок «Центр масс. Уравнение движения центра масс системы Центр масс и уравнение его движения
Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:
Это есть уравнение движения центра масс системы , одно из важнейших уравнений механики. Оно утверждает, что центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы .
Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.
Если , то , значит и - это случай замкнутой системы в инерциальной системе отсчета. Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.
Пример: однородный цилиндр массы и радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти уравнение движения?
| |
Совместное решение дает значение параметров
Уравнение движения центра масс совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы .
Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, которая движется поступательно относительно ИСО называют системой центра масс. Ее особенностью является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, так, как .
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Кинематика поступательного движения
Физические основы механики.. кинематика поступательного движения.. механическое движение формой существования..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Механическое движение
Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци
Пространство и время
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность
Система отсчета
Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по
Кинематические уравнения движения
При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун
Перемещение, элементарное перемещение
Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
Движение точки характеризуется также ускорением-быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время
Поступательное движение
Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво
Закон инерции
В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал
Инерциальная система отсчета
Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п
Масса. Второй закон Ньютона
Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы
Основной закон динамики материальной точки
Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно
Третий закон Ньютона
Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те
Преобразования Галилея
Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем
Принцип относительности Галилея
Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:
Сохраняющиеся величины
Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в
Центр масс
В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс
Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле
Центральные силы
Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об
Потенциальная энергия частицы в силовом поле
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально
Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам
Кинетическая энергия частицы в силовом поле
Пусть частица массой движется в силов
Полная механическая энергия частицы
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:
Закон сохранения механической энергии частицы
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться
Кинематика
Поворот тела на некоторый угол можно
Момент импульса частицы. Момент силы
Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения - это момент импульса. Моментом импульса частицы
Момент импульса и момент силы относительно оси
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось
Закон сохранения момента импульса системы
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и
Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем
Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м
Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое мож
Уравнение динамики вращения твердого тела
Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси
Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами
Работа вращения твердого тела
Если тело приводится во вращение силой
Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3.
Шарик находится
Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся СО, кроме, появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила
Малые колебания
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть
Гармонические колебания
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:
Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною, совершающая колебания в вертикальной плоск
Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап
Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае
Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент
Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону
Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе
Распространение волн в упругой среде
Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час
Уравнение плоской и сферической волн
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат,
Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.
Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав
Точка С , положение которой определяется радиус-вектором:
называется центром масс системы материальных точек. Здесь m i - масса i -й частицы; r i - радиус-вектор, задающий положение этой частицы; - суммарная масса системы. (Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.)
Продифференцировав r C по времени, найдем скорость центра масс:
где V i - скорость i -ой материальной точки, p i - ее импульс, P – импульс системы материальных точек. Из (2.18) следует, что суммарный импульс системы есть
P = mV C , (2.19)
Из (2.19) и (2.16), получим уравнение движения центра масс:
(а C – ускорение центра масс). Таким образом, из уравнения
следует, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится .
Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц- системой). Эта система является инерциальной.
Контрольные вопросы
1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?
2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?
3. Чему равен вес свободно падающего тела?
4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?
5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?
6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил ?
1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы сопротивления жидкости F = – rV , пренебречь.
2. Движение материальной точки задано уравнениями x = at 3 , y = bt.
3. Скорость материальной точки задана уравнениями u x = A ∙ sinwt ,u y = A ∙ coswt. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?
4. Шарик, висящий на нити длиной l , после горизонтального толчка поднимается на, высоту H , не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H < l б) при H > l ?
5. Два тела массами т 1 > m 2 падают с одинаковой высоты. Силы сопротивления считать постоянными и одинаковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.
6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F . Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?
7. Брусок массой m 1 = 1 кг покоится на бруске массой m 2 = 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально времени, ее модуль F = 3t (F – в Н, t – в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m = 0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g = 10 м/с 2 .
8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.
9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью w. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?
Глава 3
Работа и энергия
Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:
Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:
Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.
Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.
Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.
Теорема о движении центра масс системы
Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:
$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)
где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.
Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:
$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)
Из формулы (2) имеем:
Беря вторую производную по времени, получаем:
$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)
где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.
Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):
$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)
Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:
$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.
Значение теоремы состоит в следующем:
Теорема
- Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
- Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.
Пример
Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.
\[\omega \] \[\alpha \]
На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.
Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:
Спроецируем обе части на оси x и y:
\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]
Разделив одно уравнение на другое, получим:
Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:
Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $
Центром масс системы называется точка с радиус-вектором
Для
непрерывного распределения массы с
плотностью
.
Если силы тяжести, приложенные к каждой
частице системы, направлены в
одну сторону
,
то центр масс совпадает с центром
тяжести. Но если
не параллельны
,
то центр масс и центр тяжести не
совпадают.
Взяв
производную по времени от
,
получим:
т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс.
Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса, находим:
Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.
При поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.
Так
как
,
то центр массзамкнутой
системы
должен
сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения, т.е.
=const.
Но при этом вся система может вращаться,
разлетаться, взрываться и т.п. в результате
действия внутренних
сил
.
Реактивное движение. Уравнение Мещерского
Реактивным
называется движение тела, при котором
происходит присоединение
или отбрасывание
массы. В процессе движения происходит
изменение массы тела: за время dt тело
массы m присоединяет (поглощает) или
отбрасывает (испускает) массу dm со
скоростью
относительно
тела
;
в первом случае dm>0, во втором dm<0.
Рассмотрим
такое движение на примере ракеты.
Перейдем в инерциальную систему отсчета
K", которая в данный момент времени t
движется с той же скоростью
,
что и ракета – такая ИСО называетсясопутствующей
– в этой системе отсчета ракета в данный
момент t покоится
(скорость ракеты в этой системе
=0).
Если сумма внешних сил, действующих на
ракету, не равна нулю, то уравнение
движения ракеты в системе K", но так как
все ИСО эквивалентны, то и в системе К
уравнение будет иметь тот же самый вид:
Это – уравнение Мещерского , описывающее движение любого тела с переменной массой}.
В уравнении масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения называется реактивной силой
Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm/dt>0 и реактивная сила будет силой торможения (например, при движении ракеты в облаке космической пыли).
Энергия системы частиц
Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы
и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).
Иначе
обстоит дело с потенциальной энергией
системы. Во-первых, между частицами
системы действуют силы взаимодействия
.
ПоэтомуA ij =-dU ij ,
где U ij
- потенциальная энергия взаимодействия
i-ой и j-ой частиц. Суммируя U ij
по всем частицам системы, находим так
называемую собственную
потенциальную энергию
системы:
Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации. К тому же эта величина - не аддитивная.
Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы - консервативные, то их работа будет равна убыли внешней потенциальной энергии A=-dU внеш, где
где U i - потенциальная энергия i-ой частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.
Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как
E сист =К сист +U соб +U внеш
Центр масс. Уравнение движения центра масс. Сам закон: Тела действуют друг на друга с силами имеющими одинаковую природу направленными вдоль одной и той же прямой равными по модулю и противоположными по направлению: Центр масс это геометрическая точка характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Определение Положение центра масс центра инерции в классической механике определяется следующим образом: где радиусвектор центра масс радиусвектор iй точки системы масса iй точки.
7.Третий закон Ньютона. Центр масс. Уравнение движения центра масс.
Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия.
Сам закон:
Тела действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:
Центр масс это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.
Определение
Положение центра масс (центра инерции) в классической механике определяется следующим образом:
где
радиус-вектор
центра масс,
радиус-вектор
i
-й точки системы,
масса i -й точки.
.
Это уравнение движения центра масс системы материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил) или теорема о движении центра масс.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать |
|||
| 22476. | КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ ПЕРСОНАЛЬНОГО РАДИОВЫЗОВА, ПЕЙДЖЕРЫ, РЕПИТЕРЫ, ОСНОВНЫЕ ПРОТОКОЛЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. | 1.21 MB | |
| КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ ПЕРСОНАЛЬНОГО РАДИОВЫЗОВА ПЕЙДЖЕРЫ РЕПИТЕРЫ ОСНОВНЫЕ ПРОТОКОЛЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. Цель работы Изучить классификацию систем персонального радиовызова пейджеры репитеры основные протоколы передачи информации. Ознакомиться с основными протоколами передачи информации в СПРВ. При этом для передачи вызова абоненту использовалось последовательное тональное кодирование адреса обеспечивающее возможность обслуживания до нескольких десятков тысяч пользователей. | |||
| 22477. | ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ КОДИРОВАНИЯ РЕЧЕВЫХ СИГНАЛОВ В СТАНДАРТЕ ТЕТRА ТРАНКИНГОВЫХ СЕТЕЙ | 961.5 KB | |
| Задание Ознакомиться с общим описанием алгоритма кодирования речевого сигнала. Изучить особенности канального кодирования для различных логических каналов. Oбщее описание алгоритма кодирования речевого сигнала СЕLР Для кодирования информационного уплотнения речевых сигналов в стандарте ТЕТRА используется кодер с линейным предсказанием и многоимпульсным возбуждением от кода СЕLР Соdе Ехсited Linear Ргеdiction. | |||
| 22478. | СИСТЕМА СОТОВОЙ СВЯЗИ СТАНДАРТА GSM-900 | 109.5 KB | |
| Цель работы Изучить основные технические характеристики функциональное построение и интерфейсы принятые в цифровой сотовой системе подвижной радиосвязи стандарта GSM. Задание Ознакомиться с общими характеристиками стандарта GSM. Краткая теория Стандарт GSM Global System for Mobile communications тесно связан со всеми современными стандартами цифровых сетей в первую очередь с ISDN и IN Intelligent Network. | |||