Уравнения приводимые к квадратным примеры. Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

МУНИЦИПАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ТУМАНОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА МОСКАЛЕНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

Тема урока: УРАВНЕНИЯ ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ

Разработала учитель математики, физики Тумановской СОШ БИРИХ ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА

2008 год

Цель урока : 1) рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным; научить решать такие уравнения. 2) развивать речь и мышление учащихся, внимательность, логическое мышление. 3) привить интерес к математике,

Тип урока: Урок изучения нового материала

План урока: 1. организационный этап
2. устная работа
3. практическая работа
4. подведение итогов урока

ХОД УРОКА
Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с темой «Уравнения приводимые к квадратным». Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, научиться применять различные способы при решении приведенных квадратных уравнений.
1. Устная работа 1. Какие из чисел: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения: а) х 3 – х = 0; б) у 3 – 9у = 0; в) у 3 + 4у = 0 ? - Сколько решений может иметь уравнение третьей степени? - Какой способ вы использовали при решении данных уравнений? 2. Проверьте решение уравнения: х 3 - 3х 2 + 4х – 12 = 0 х 2 (х - 3) + 4 (х - 3) = 0 (х - 3) (х 2 + 4) = 0 (х - 3) (х - 2) (х + 2) = 0 Ответ: х = 3, х = -2, х = 2 Учащиеся объясняют допущенную ошибку. Я подвожу итог устной работы. Итак, вы смогли решить три предложенных уравнения устно, найти ошибку, допущенную при решении четвертого уравнения. При устном решении уравнений были использованы следующие два способа: вынесение общего множителя за знак скобки и разложение на множители. Теперь попробуем применить эти способы при выполнении письменной работы.
2. Практическая работа 1. Один ученик решает на доске уравнение 25х 3 – 50х 2 – х + 2 = 0 При решении он обращает особое внимание на смену знаков во второй скобке. Проговаривает все решение и находит корни уравнения. 2. Уравнение х 3 – х 2 – 4(х - 1) 2 = 0 предлагаю решить более сильным учащимся. При проверке решения обращаю особое внимание учащихся на наиболее важные моменты. 3. Работа на доске. Решить уравнение (х 2 + 2х) 2 – 2(х 2 + 2х) – 3 = 0 При решении этого уравнения учащиеся выясняют, что необходимо использовать «новый» способ – введение новой переменной. Обозначим через переменную у = х 2 + 2х и подставим в данное уравнение. у 2 – 2у – 3 = 0. Решим квадратное уравнение относительно переменной у. Затем находим значение переменной х. 4 . Рассмотрим уравнение (х 2 – х + 1) (х 2 – х - 7) = 65. Давайте ответим на вопросы: - какой степени данное уравнение? - какой способ решения наиболее рационально использовать для его решения? - какую новую переменную следует ввести? (х 2 – х + 1) (х 2 – х - 7) = 65 Обозначим у = х 2 – х (у + 1) (у – 7) = 65 Далее класс решает уравнение самостоятельно. Решения уравнения проверяем у доски. 5. Для сильных учащихся предлагаю решить уравнение х 6 – 3х 4 – х 2 – 3 = 0 Ответ: -1, 1 6. Уравнение (2х 2 + 7х - 8) (2х 2 + 7х - 3) – 6 = 0 класс предлагает решить следующим образом: наиболее сильные учащиеся – решают самостоятельно; для остальных решает один из учеников на доске. Решаем: 2х 2 + 7х = у (у - 8) (у - 3) – 6 = 0 Находим: у1 = 2, у2 = 9 Подставим в наше уравнение и найдем значения х, для этого решим уравнения: 2х 2 + 7х = 2 2х 2 + 7х = 9 В результате решения двух уравнений находим четыре значения х, которые являются корнями данного уравнения. 7. В конце урока предлагаю устно решить уравнение х 6 – 1 = 0. При решении необходимо применить формулу разности квадратов, легко находим корни. (х 3) 2 – 1 = 0 (х 3 - 1) (х 3 + 1) = 0 Ответ: -1, 1.
3. Подведение итога урока Еще раз обращаю внимание учащихся на способы, которые были использованы при решении уравнений, приводимых к квадратным. Работа учащихся на уроке оценивается, оценки комментирую и указываю на допущенные ошибки. Записываем домашнее задание. Как правило, урок проходит в быстром темпе, работоспособность учащихся – высокая. Большое всем спасибо за хорошую работу.

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным - это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 - квадратное уравнение

где x - это неизвестное, а a , b и c - коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax 2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения .

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a , то есть на первый коэффициент:

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x 2 + 10x - 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

3x 2 + 9x - 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x 2 - 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 + 2kx + c = 0

x 2 + px + q = 0

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Обратите внимание на уравнение:

ax 2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b - четный, что позволяет его заменить на вид 2k . Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b :

Пример 1. Решить уравнение:

3x 2 + 7x + 2 = 0

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала

a = 3, b = 7, c = 2

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x 1 =	-2	= -	1	, x 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Ответ: -	1	, -2.
	3

Пример 2:

x 2 - 4x - 60 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -60

Так как в уравнении второй коэффициент - чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y 2 + 11y = y - 25

Приведём уравнение к общему виду:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x 2 - 7x + 6 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. Одним из таких уравнений являются биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения - это уравнения вида a*x^4 + b*x^2 + c = 0, где a не равно 0.

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки x^2 =t. После такой подстановки, получим квадратное уравнении относительно t. a*t^2+b*t+c=0. Решаем полученное уравнение, имеем в общем случае t1 и t2. Если на этом этапе получился отрицательный корень, его можно исключить из решения, так как мы брали t=x^2, а квадрат любого числа есть число положительное.

Возвращаясь к исходным переменным, имеем x^2 =t1, x^2=t2.

х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Разберем небольшой пример:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Введем замену t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:

Корень -1 не подходит, так как уравнение x^2 = -1 не имеет смысла.

Остается второй корень 4/9. Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение:

x1=-2/3, x2=2/3.

Это и будет решением уравнения.

Ответ: x1=-2/3, x2=2/3.

Еще один из видов уравнений, приводимых к квадратным, являются дробные рациональные уравнения. Рациональные уравнения - это уравнения у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Схема решения дробного рационального уравнения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы. Найдем сначала общий знаменатель всех дробей.

Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5. Теперь производим проверку полученных решений. Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель.

При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 буде являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения - это уравнения вида a*x^4 + b*x^2 + c = 0, где a не равно 0.

Возвращаясь к исходным переменным, имеем x^2 =t1, x^2=t2.

х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Разберем небольшой пример:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Введем замену t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

9*t^2+5*t-4=0.

Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:

t1=4/9, t2=-1.

Корень -1 не подходит, так как уравнение x^2 = -1 не имеет смысла.

Остается второй корень 4/9. Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Это и будет решением уравнения.

Ответ: x1=-2/3, x2=2/3.

Схема решения дробного рационального уравнения

Общая схема решения дробного рационального уравнения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы. Найдем сначала общий знаменатель всех дробей.

Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

Ответ: х=-2.