Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно, правила, примеры. Как представить дробь в виде десятичной дроби Как представить дробь в виде десятичной
Десятичная дробь - разновидность дроби , у которой в знаменателе есть "круглое" число: 10, 100, 1000 и т.д., Например, дробь 5/10 имеет десятичную запись 0,5. Исходя из этого принципа, дробь можно представить в виде десятичной дроби .
Инструкция
Допустим, надо представить в виде
десятичной дробь
18/25.
Сначала нужно сделать так, чтобы в знаменателе появилось одно из "круглых" чисел: 100, 1000 и т.д. Для этого нужно знаменатель умножить на 4. Но на 4 потребуется умножить и числитель, и знаменатель.
Умножив числитель и знаменатель дроби 18/25 на 4, получается 72/100. Записывается эта дробь в десятичном виде так: 0,72.
Дробью в математике называют рациональное число, равное одной или нескольким долям, на которые поделена единица. При этом запись дроби должна содержать указание на два числа: одно из них указывает, на сколько именно долей была разбита единица при создании этой дроби, а другое - сколько из этих долей включает в себя дробное число. Если эти два числа записываются в виде разделенных чертой числителя и знаменателя, то такой формат записи называют «обыкновенной» дробью. Однако существует и другой формат записи дробей, называемый «десятичным».
Трехэтажная форма записи чисел, в которой знаменатель располагается над числителем, а между ними есть еще и разделительная черта, не всегда бывает удобна. Особенно это неудобство стало проявляться с массовым распространением персональных компьютеров. Десятичная форма представления дробей лишена этого недостатка - в ней указывать числитель не требуется, так как он по определению всегда равен десятке в отрицательной степени. Поэтому дробное число можно записать в одну строку, хотя длина его в большинстве случаев будет значительно больше, чем длина соответствующей обыкновенной дроби.
Другое преимущество записи чисел в формате десятичной дроби заключается в том, что их значительно проще сравнивать между собой. Так как знаменатель каждого разряда двух таких чисел одинаков, то достаточно сравнить только две цифры соответствующих разрядов, в то время как при сравнении обыкновенных дробей надо принимать во внимание и числитель, и знаменатель каждой из них. Это преимущество важно не только для людей, но и для компьютеров - сравнение чисел в десятичном формате достаточно легко запрограммировать.
Существуют выработанные столетиями правила сложения, умножения и других математических действий, которые позволяют на бумаге или в уме производить вычисления с числами в формате десятичных дробей. В этом заключено еще одно преимущество этого формата перед обыкновенными дробями. Хотя с развитием компьютерных технологий, когда калькулятор есть даже в часах, оно становится все менее заметным.
Описанные плюсы десятичного формата записи дробных чисел показывают, что его основное назначение - упрощение работы с математическими величинами. Такой формат тоже имеет недостатки - например, чтобы записать периодические дроби к десятичной дроби приходится добавлять еще и число в скобках, а нерациональные числа в десятичном формате всегда имеют приблизительное значение. Однако на сегодняшнем уровне развития людей и их технологий он значительно более удобен в использовании, чем обыкновенный формат записи дробей.
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Записать данное число в виде десятичной дроби.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.
Записать в виде десятичной дроби числа.
В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .
Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, … представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … .
После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, … ) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.
Теперь обо всем по порядку.
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби
Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100 нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10 в подготовке не нуждается.
«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .
После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.
Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:
- записываем 0 ;
- после него ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).
Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.
Пример.
Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную.
Решение.
В знаменателе находится число 100 , в записи которого два нуля. В числителе находится число 37 , в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.
Теперь записываем 0 , ставим десятичную запятую, и записываем число 37 из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37 .
Ответ:
0,37 .
Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.
Пример.
Запишите правильную дробь 107/10 000 000 в виде десятичной дроби.
Решение.
Количество цифр в числителе равно 3 , а количество нулей в знаменателе равно 7 , поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4 нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .
Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0 , во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107 , в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107 .
Ответ:
0,0000107 .
Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :
- записываем число из числителя;
- отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Разберем применение этого правила при решении примера.
Пример.
Переведите неправильную обыкновенную дробь 56 888 038 009/100 000 в десятичную дробь.
Решение.
Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5 нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009 .
Ответ:
568 880,38009 .
Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10 , или 100 , или 1 000, … , можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :
- при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
- записываем целую часть исходного смешанного числа;
- ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.
Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.
Пример.
Переведите смешанное число в десятичную дробь.
Решение.
В знаменателе дробной части 4 нуля, в числителе же находится число 17 , состоящее из 2 цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017 .
Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23 , ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017 , при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017 .
Запишем все решение кратко: .
Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .
Ответ:
23,0017 .
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби
В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, … , но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.
В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10 , или 100 , или 1 000, … (смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5 можно привести к дроби со знаменателем 10 , для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2 , что даст дробь 4/10 , которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4 .
В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.
Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 621/4 в десятичную дробь.
Решение.
Число в числителе 621 представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2 цифры 0 , позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00 .
Теперь выполним деление столбиком числа 621,000
на 4
. Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:
Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:
На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25 , которая соответствует исходной обыкновенной дроби.
Ответ:
155,25 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 21/800 в десятичную дробь.
Решение.
Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000…
на 800
. Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:
Наконец-то мы получили остаток 0 , на этом перевод обыкновенной дроби 21/400 в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625 .
Ответ:
0,02625 .
Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0 . В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.
Пример.
Запишите обыкновенную дробь 19/44 в виде десятичной дроби.
Решение.
Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:
Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8 и 36 , при этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44 переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18) .
Ответ:
0,43(18) .
В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.
Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.
Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … , то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, … А какие числа могут быть делителями 10, 100, … ? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, … , а они таковы: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000 и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2 и (или) 5 .
Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:
- если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2 и (или) 5 , то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
- если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.
Пример.
Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие - только в периодическую.
Решение.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20 имеет вид 20=2·2·5 . В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … (в этом примере к знаменателю 100 ), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3 . Так как оно содержит простой множитель 3 , отличный от 2 и 5 , то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.
Дробь 21/56 – сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8 . Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2 , следовательно, обыкновенная дробь 3/8 , а значит и равная ей дробь 21/56 , может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17 представляет собой само 17 , следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.
Ответ:
47/20 и 21/56 можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12 и 31/17 - только в периодическую.
Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби
Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?
Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.
Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q , то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q , не более чем через q шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:
- либо мы получим остаток 0 , на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
- либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.
Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби
Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:
- во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
- во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
- в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Обратите десятичную дробь 3,025 в обыкновенную дробь.
Решение.
Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025 . В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025 .
В знаменатель записываем цифру 1 и справа к ней дописываем 3 нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3 цифры.
Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000 . Эту дробь можно сократить на 25 , получаем .
Ответ:
.
Пример.
Выполните перевод десятичной дроби 0,0017 в обыкновенную дробь.
Решение.
Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017 , отбросив нули слева получаем число 17 , которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.
В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4 цифры.
В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000 . Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.
Ответ:
.
Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :
- число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
- в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
- в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1 , к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
- при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.
Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.
Пример.
Представьте десятичную дробь 152,06005 в виде смешанного числа