Предикаты. Операции над предикатами

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения. существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб – параллелограмм; AВCD – ромб; следовательно, AВCD – параллелограмм» посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом»

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например. х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1,0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выpaжает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом Р(х) нaзывается произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат Р(х), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х) , то есть множество истинности предиката Р(х) – это множество.

Так. предикат Р(х) – «х – простое число» определен на множестве N, а множество для нeгo есть множество всех простых чисел. Предикат Q(x) – «» определен на множествеR, а eгo множество истинности. Предикат F(x) «Диагoнали параллелогpамма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а eгo множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные при меры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение. Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если .

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью котopoгo выражаются отношения между предметами.

Примером бинарного отношения (отношения между двумя предметами) является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой «x<у », где, то есть является функцией двух переменных Р(х,у), определенной на множествес множеством значений {1,0}.

Определение. Двухместным предикатом Р(х, у) называется функция двух переменных х и y, определенная на множествеИ принимающая значения из множества {1,0}.

Аналогично определяется n-местный предикат.

Предикаты, так же, как высказывания. принимают два значения u и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

Определение 1. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)& Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката P(x)&Q(x) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть пересечение

Так, например, для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(х): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)&Q(x) является предикат «x– четное число» и «х кратно 3», то есть предикат «x делится на 6».

Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) ∨Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что область истинности предиката Р(х) ∨Q(х) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть объединение.

Определение 3. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат Р(х), который принимает значение «истина» при всех значениях . при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что .

Определение 4. Импликацией предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) → Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(x) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном справедлива равносильность, то

Кванторные операции

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если а – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду c образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

1.Квантор всеобщности. Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

Соответствующее ему словесное выражение будет «Для всякого х Р(х) истинно». Символ называют квантором всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказываниипеременную х называют связанной квантором.

2. Квантор существования. Пусть Р(х) – предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент, для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует х, при котором Р(х) истинно». Символназывают квантором существования. В высказываниипеременная х связана квантором.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,y) одноместный предикат(или одноместный предикат) , зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменнойy, которые приведут уже высказываниям следующих видов:

,,,

Например, рассмотрим предикат Р(х,у): «х:у», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р(х, у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. – «Для всякого у и для всякого х у является делителем х».

2. – «Существует у, которое является делителем всякого х».

3. , – «Для всякого у существует х такое, что х делится на у».

4. – «Существует у и существует х такие, что у является делителем х».

5. – «Для всякого х и для всякого у у является делителем х».

6. «Для всякого х существует такое у, что х делится на y».

7. «Существует х и существует у такие, что у является делителем х».

8. – «Существует х такое, что для всякoгo у х делится наy».

Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.

Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и eгo логическое значение (например, высказывания 3 и 8).

Рассмотрим предикат Р(х), определенный на множестве , содержащем конечное число элементов. Если предикат Р(х) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания. При этом истинными будут высказываниеи конъюнкция.

Если же хотя бы для одного элемента окажется ложным, то ложными будут высказываниеи конъюнкция, следовательно, справедлива равносильность.

Нетрудно показать, что справедлива и равносильность

Отсюда видно, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

С помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности из исходных предикатов могут быть построены новые предикаты.

Отрицание предиката . Пусть предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) задан на множествах M 1 , M 2 , ..., M n . Предикат R(x 1 , x 2 ,..., x n) называется отрицанием предиката P(x 1 , x 2 , ..., x n) тогда и только тогда, если при одних и тех же кортежах (a 1 , a 2 , ... , a n), где а 1 M 1 , а 2 M 2 , ..., аn M n , высказывание P(a 1 , a 2 , ..., a n) истинно, когда R(a 1 , a 2 , ..., a n) - ложно и наоборот. Обозначение

R(x 1 , x 2 , ..., x n) ù P(x 1 , x 2 , ..., x n)

Например, предикат "n - четное число" есть отрицание предиката "n - нечетное число" на множестве целых чисел.

Конъюнкция предикатов . Пусть на множествах M 1 , M 2 , ..., M n заданы два n - местных предиката P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n). Конъюнкцией этих предикатов называется предикат

Q(x 1 , x 2 , ..., x n) P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n),

который истинен для одних и тех же кортежей только тогда, когда оба предиката и P(x 1 , x 2 , ..., x n) и Q(x 1 , x 2 , ..., x n) истинны.

Например, конъюнкция предикатов "x 2 + y 2 1" и "x 0", где x, y - вещественные числа определяет предикат "точки правой половины единичного круга" (см. рис.2.2).

Дизъюнкция предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат S(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "ложь" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых оба предиката и P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеют значение "ложь". На рис.2.3 иллюстрируется дизъюнкция предиката "x 2 + y 2 1" и "x 0" - (заштрихованная область).

Импликация предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат T(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "ложь" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) имеет значение "истина", а предикат R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеет значение "ложь". Например, импликация "n делится на 4" " n делится на 2" есть предикат: "если n делится на 4, то n делится на 2".

Эквивалентность предикатов P(x 1 , x 2 , ..., x n) и R(x 1 , x 2 , ..., x n), есть новый предикат V(x 1 , x 2 , ..., x n) = P(x 1 , x 2 , ..., x n) R(x 1 , x 2 , ..., x n), который имеет значение "истина" для тех и только тех кортежей из M 1 M 2 ... M n , для которых предикат P(x 1 , x 2 , ..., x n) и предикат R(x 1 , x 2 , ..., x n) имеют одинаковые значение или оба "истина" или оба "ложь". Два предиката заданных на одних и тех же множествах называются равносильными , если при всех наборах входящих в них предметных переменных эти предикаты принимают одинаковые значения. Равносильность называют также логической эквивалентностью . Например, эквивалентность предикатов P(n) = "n делится на 6" и R(n) = "n делится на 2 и n делится на 3" есть предикат V(n) = P(n) R(n): "если n делится на 6, то n делится на 2 и на 3". Предикаты P(n) и R(n) логически эквивалентны.

Наряду с логическими операциями важную роль играют операции, называемые кванторами.

Квантор всеобщности есть операция, которая предикат P(x) превращает в высказывание: "все x обладают свойством P(x)". Знак квантора всеобщности " ". Он заменяет фразы: "для всех", "каждый", "любой" и т.п. Обозначение x: P(x) читается так: "для всех x таких, что P от x". Например, “P(x) = x>0 , где x - вещественное число”, есть предикат "x - положительное число". Тогда x: P(x) есть высказывание "каждое число - положительно". Это ложное высказывание. Если же x - любое натуральное число (x N), то x: P(x) есть выражение: "каждое натуральное число - положительно" - истинное высказывание.

Квантор всеобщности можно рассматривать как обобщение серии конъюнкций единичных высказываний. Пусть M - множество очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, т.е. M ={1,2,3,4,5,6} и P(x) - предикат: "при бросании игральной кости один раз выпадает x очков", где x M. Применение квантора всеобщности позволяет вместо сложного высказывания P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) записать равносильное ему компактное высказывание x: P(x), x M: "при бросании игральной кости один раз может выпасть любое из шести первых натуральных чисел".

Квантор существования есть операция, которая предикат P(x) превращает в высказывание: "существует хотя бы один x из M, обладающий свойством P(x)". Знак квантора существования " ". Он заменяет фразы: "существует, хотя бы один", "найдется", "некоторый" и т.п. Обозначение x: P(x) читается так: "существует хотя бы один x такой, что P от x". Например, P(x) - предикат: "x - студент", где x - элемент множества жителей Москвы. Тогда выражение x: P(x) есть высказывание "хотя бы один житель Москвы является студентом".

Квантор существования можно рассматривать как обобщение серии дизъюнкций единичных высказываний. Если задано множество M={a 1 , a 2 , ..., a n } и на нем определен предикат P(x), то

P(а 1) P(а 2) ... P(а n) ( x M): P(x).

Кванторы обладают свойствами, являющимися аналогами законов де Моргана:

ù( x: P(х)) х:ù P(х),

ù( х: P(х)) х: ùP(х).

С помощью кванторов можно выражать ряд часто используемых на практике отношений между множествами. Например, высказывание "все объекты х из данного множества, обладающие свойством P(х), обладают также и свойством R(х)" формально можно записать так; х: (P(х) R(х)).

Переход от P(х) к х:P(х) или х:P(х) называется квантификацией или связыванием переменнойх . Связанная переменная фактически не является переменной, т.е. переход от х: P(х) к y:P(y) или от х:P(х) к y: P(y) не меняет истинности выражений. Навешивание переменной на многоместный предикат уменьшает в нем число свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.

Рассмотрим пример. На множестве чисел задан двухместный предикат P(х,y)="число х делится на число y". Связывая одну переменную, можно получить следующие одноместные предикаты:

Х: P(х,y) = "каждое число делится на y" - ложь;

X: P(x,y) = "существует число, которое делится на y"- истина;

Y: P(х,y) = "число х делится на любое число" - ложь;

Y: P(х,y) = "существует число на которое делится х" - истина.

Связывая обе переменные данного предиката, получим высказывания:

Х, y:P(х,y)="каждое число делится на любое число" - ложное высказывание,

Х, y:P(х,y)="существует число, на которое делится любое число" - истина, т.к. такое число есть 1,

Х, y:P(х,y)="существует число, которое делится на любое число" - ложное высказывание,

Х, y: P(х,y)="существует число, которое делится на какое-нибудь число" - истинное высказывание.

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Определение 1.

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов P(x): “x – четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией является предикат “x – четное число и x кратно трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Определение 2.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Определение 3.

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат или , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.

Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I P .

Определение 4.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 5.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем:

Кванторные операции.

Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М. Если “а” – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называют единичным . Например, r(x): “х – четное число” – предикат, а r (6)- истинное высказывание, r (3) – ложное высказывание.

Это же относится и к n – местным предикатам: если вместо всех предметных переменных х i , i= подставить их значения, то получим высказывание.

Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате таких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов). При этом рассматриваются, соответственно, два типа так называемых кванторов.

1.1 Квантор всеобщности.

Пусть Р(х) – предикат , определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание , истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Для всякого х Р(х) истинно ”.

Символ называют квантором всеобщности (общности). Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

1.2 Квантор существования.

Пусть P(x) -предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание , которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Рассмотрим предикат P(x) определенный на множестве M={a 1 ,…,a n }, содержащем конечное число элементов. Если предикат P(x) является тождественно - истинным, то истинными будут высказывания P(a 1),P(a 2),…,P(a n). При этом истинными будут высказывания и конъюнкция .

Если же хотя бы для одного элемента P(a k)окажется ложным, то ложными будут высказывание и конъюнкция . Следовательно, справедлива равносильность .

Численные кванторы.

В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n” (“хотя бы n”), “не более чем n”, “n и только n” (“ровно n”), где n – натуральное число.

Эти выражения, называемые численными кванторами , имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака или ~, означающего тождество (совпадение) объектов.

Пусть n=1. Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P” имеет тот же смысл, что и предложение “Существует объект, обладающий свойством P”, т.е. (*)

Предложение “не более чем один объект обладает свойством P” равнозначно предложению “Если есть объекты, обладающие свойством P, то они совпадают”, т.е. (**) Предложение “один и только один объект обладает свойством P” равнозначно конъюнкции вышеуказанных предложений (*) и (**).

1.3 Отрицание предложений с кванторами.

Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Например, отрицанием предложения “Река х впадает в Черное море.” является предложение “ Река х не впадает в Черное море ”. Годится ли этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Определение 1.

Определение 2.

Ясно, что областью истинности предиката является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Определение 3.

Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката является дополнением к множеству I P .

Определение 4.

Поскольку при каждом фиксированном справедлива равносильность , то .

Определение 5.

Для его множества истинности имеем:

Свободные и связанные переменные. Кванторы всеобщности и существования, их взаимосвязь.

Ква́нтор - общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают:
Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).
Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).
В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.
В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).
Содержание [убрать]
1 Примеры
2 Введение в понятие
3 Кванторы в математической логике
3.1 Свободные и связанные переменные
3.2 Операции над кванторами
4 История появления
5 Литература
6 Ссылки
7 Примечания
Примеры[править | править исходный текст]

Обозначим предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):
любое натуральное число кратно 5;
каждое натуральное число кратно 5;
все натуральные числа кратны 5;
следующим образом:
.
Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:
существуют натуральные числа, кратные 5;
найдётся натуральное число, кратное 5;
хотя бы одно натуральное число кратно 5.
Их формальная запись:
.

Пусть на множестве простых чисел задан предикат: «Простое число нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 - простое чётное число).
Подставив перед данным предикатом слово «существует», получим истинное выcказывание «Существует простое число, являющееся нечётным» (например,).
Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.
Кванторы в математической логике[править | править исходный текст]

Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката.
(«При всех значениях утверждение верно»).
Высказывание означает, что область истинности предиката непуста.
(«Существует при котором утверждение верно»).

Свободные и связанные переменные[править | править исходный текст]
Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:
Свободные переменные.
Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы F,
переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.
Замкнутая формула.
Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.
Связанная переменная.
Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K - квантор.
Связанное переименованию
Квантор всеобщности (обозначения: , ∀) - это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных элементов из указанного множества. Формально говоря, это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…».
Квантор всеобщности - это попытка формализации обозначения того, что нечто (логическое выражение) истинно для всего, или для любой относящейся к делу сущности. Применяется в предикатной логике и символической логике.
В предикатной логике, квантор существования (экзистенциальный квантификатор) - это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения. Он обозначается как символ логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования отличается от квантора всеобщности, который утверждает, что свойство или отношение выполняется для всех элементов области.