Вычисление криволинейного интеграла по координатам. Интеграл по замкнутому контуру, формула грина, примеры

Кафедра «Высшая математика»

Криволинейные интегралы

Методические указания

Волгоград

УДК 517.373(075)

Рецензент:

старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Криволинейные интегралы: метод. указания / сост. М.И.Андреева,

О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.

Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме « Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».

В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.

Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.

© Волгоградский государственный

технический университет, 2011

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L , f (P ) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах È А i – 1 A i , длины которых Dl i (i = 1, 2, …, n

при n ® ¥ и max Dl i ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах È А i – 1 A i (i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f (P ) по кривой L и обозначается

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.

Если дуга È АВ плоской кривой задана параметрически уравнениями где x (t ) и y (t t , причем x (t 1) = x A , x (t 2) = x B , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и x (t ), y (t ), z (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

где - дифференциал длины дуги кривой.

в декартовых координатах

Если дуга ÈАВ плоской кривой L задана уравнением где y (x

и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:

При задании дуги ÈАВ плоской кривой L в виде x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ],
где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция,

и криволинейный интеграл вычисляется по формуле

(1.4)

Задание кривой интегрирования полярным уравнением

Если плоская кривая L задана уравнением в полярной системе координат r = r (j), j Î , где r (j) – непрерывно дифференцируемая функция, то

и

(1.5)

Приложения криволинейного интеграла 1 рода

С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.

1. Длина l плоской или пространственной кривой L находится по формуле

2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZ образующей и расположенной в плоскости XOY направляющей L , заключенной между плоскостью XOY и поверхностью, задаваемой уравнением z = f (x ; y ) (f (P ) ³ 0 при P Î L ), равна

(1.7)

3. Масса m материальной кривой L с линейной плотностью m(P ) определяется формулой

(1.8)

4. Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) соответственно равны:

(1.9)

5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy , Oxz , Oyz и координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью m(x ; y ; z) определяются по формулам:

(1.11)

6. Для плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) моменты инерции относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:

(1.13)

7. Моменты инерции пространственной материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ; z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(1.14)

а моменты инерции относительно координатных осей равны:

(1.15)

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 РОДА

Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть ÈАВ – дуга кусочно-гладкой ориентированной кривой L , = (a x (P ); a y (P ); a z (P )) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах А i – 1 A i . Пусть – вектор с координатами Dx i , Dy i , Dz i (i = 1, 2, …, n ), и – скалярное произведение векторов и (i = 1, 2, …, n ). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм

при n ® ¥ и max ÷ ç ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах ÈА i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции (P ) по кривой L и обозначается

В случае, когда векторная функция задана на плоской кривой L , аналогично имеем:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.

Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением

(2.2)

где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.

С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L:

(2.3)

Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную область G , считается обход против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой С называется циркуляцией и обозначается

(2.4)

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое задание кривой интегрирования

Если ÈАВ ориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями , где х (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , причем то

(2.5)

Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то

(2.6)

Явное задание плоской кривой интегрирования

Если дуга ÈАВ L задана в декартовых координатах уравнением где y (x ) – непрерывно дифференцируемая функция, то

(2.7)

При задании дуги ÈАВ плоской ориентированной кривой L в виде
x = x (y ), y Î [y 1 ; y 2 ], где x (y ) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула

(2.8)

Пусть функции непрерывны вместе со своими производными

в плоской замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривой С + . Тогда имеет место формула Грина:

Пусть G – поверхностно-односвязная область, и

= (a x (P ); a y (P ); a z (P ))

– заданное в этой области векторное поле. Поле (P ) называется потенциальным, если существует такая функция U (P ), что

(P ) = grad U (P ),

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P ) имеет вид:

rot (P ) = , где (2.10)

(2.11)

Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дуги М 0 М . Потенциал U (М ) векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле

(2.12)

где М 0 М – произвольная кривая, соединяющая фиксированную точку М 0 и переменную точку М . Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломаная М 0 М 1 М 2 М со звеньями, параллельными координатным осям, например:

3. примеры выполнения заданий

Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.

Решение. По формуле (1.3) сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае гладкой плоской явно заданной кривой:

где y = y (x ), x 0 ≤ x ≤ x 1 – уравнение дуги L кривой интегрирования. В рассматриваемом примере Находим производную этой функции

и дифференциал длины дуги кривой L

,

то, подставляя в это выражение вместо y , получаем

Преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t 2 = 1 + x , x = t 2 – 1, dx = 2t dt ; при x = 0 t = 1; а x = 1 соответствует . После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой L : x = cos 3 t , y = sin 3 t , .

Решение. Так как L – дуга гладкой плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

.

В рассматриваемом примере

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в формулу (1.1) и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии L с линейной плоскостью m.

Решение. Масса m дуги L с плотностью m(P ) вычисляется по формуле (1.8)

.

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной гладкой дуге кривой в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставляем эти выражения в формулу для массы:

Задание 4

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге L кривой 4x + y 2 = 4 от точки A (1; 0) до точки B (0; 2).

Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y :

и находить интеграл по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y :

где a x (x ; y ) = xy – 1, a y (x ; y ) = xy 2 .

С учетом задания кривой

По формуле (2.8) получаем

Пример 2 . Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

где L – ломаная ABC , A (1; 2), B (3; 2), C (2; 1).

Решение . По свойству аддитивности криволинейного интеграла

Каждый из интегралов- слагаемых вычисляем по формуле (2.7)

где a x (x ; y ) = x 2 + y , a y (x ; y ) = –3xy .

Уравнение отрезка прямой AB : y = 2, y ¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:

Для вычисления интеграла

составим уравнение прямой BC по формуле

где x B , y B , x C , y C – координаты точек B и С . Получаем

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y ¢ = 1.

Подставляем полученные выражения в формулу (2.7):

Задание 5

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L

0 ≤ t ≤ 1.

Решение . Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t Î [t 1 ; t 2 ], где x (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции t при t Î [t 1 ; t 2 ], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой

В рассматриваемом примере a x (x ; y ) = y ; a y (x ; y ) = –2x .

C учетом задания кривой L получаем:

Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл:

Задание 6

Пример 1. C + где С : y 2 = 2x , y = x – 4.

Решение. Обозначение C + указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)

Так как функции a x (x ; y ) = 2y – x 2 ; a y (x ; y ) = 3x + y и их частные производные непрерывны в плоской замкнутой области G , ограниченной контуром C , тоформула Грина применима.

Для вычисления двойного интеграла изобразим область G , предварительно определив точки пересечения дуг кривых y 2 = 2x и
y = x – 4, составляющих контур C .

Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:

Второе уравнение системы равносильно уравнению x 2 – 10x + 16 = 0, откуда x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Итак, точки пересечения кривых: A (2; –2), B (8; 4).

Так как область G – правильная в направлении оси Ox , то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем область G на ось OY и воспользуемся формулой

.

Так как a = –2, b = 4, x 2 (y ) = 4+y , то

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру где С – контур треугольника с вершинами A (0; 0), B (1; 2), C (3; 1).

Решение. Обозначение означает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру , формула Грина принимает вид

Изобразим область G , ограниченную заданным контуром.

Функции и частные производные и непрерывны в области G , поэтому можно применить формулу Грина. Тогда

Область G не является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямой x = 1 и представим G в виде G = G 1 È G 2 , где G 1 и G 2 области, правильные в направлении оси Oy .

Тогда

Для сведения каждого из двойных интегралов по G 1 и G 2 к повторному будем использовать формулу

где [a ; b ] – проекция области D на ось Ox ,

y = y 1 (x ) – уравнение нижней ограничивающей кривой,

y = y 2 (x ) – уравнение верхней ограничивающей кривой.

Запишем уравнения границ области G 1 и найдем

AB : y = 2x , 0 ≤ x ≤ 1; AD : , 0 ≤ x ≤ 1.

Составим уравнение границы BC области G 2 , используя формулу

BC : где 1 ≤ x ≤ 3.

DC : 1 ≤ x ≤ 3.

Задание 7

Пример 1. Найти работу силы L : y = x 3 от точки M (0; 0) к точке N (1; 1).

Решение . Работу переменной силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L определяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой L ) .

Так как векторная функция задана уравнением и дуга плоской ориентированной кривой определена явно уравнением y = y (x ), x Î [x 1 ; x 2 ], где y (x ) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

В рассматриваемом примере y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N = 1. Поэтому

Пример 2 . Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 + y 2 = 4 от точки M (0; 2) к точке N (–2; 0).

Решение . Используя формулу (2.3), получаем

.

В рассматриваемом примере дуга кривой L (ÈMN ) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнением x 2 + y 2 = 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x = R cost , y = R sint и воспользоваться формулой (2.5)

Так как x = 2cost , y = 2sint , , , получаем

Задание 8

Пример 1 . Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г :

Решение. Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура Г воспользуемся формулой (2.4)

Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контур Г , то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем

Кривая Г задана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоида z = x 2 – y 2 + 2 и цилиндра x 2 + y 2 = 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривой Г .

Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:
x = cos t , y = sin t , z = z . Выражение для z в параметрических уравнениях кривой получается подстановкой x = cos t , y = sin t в уравнение гиперболического параболоида z = 2 + cos 2 t – sin 2 t = 2 + cos 2t . Итак, Г : x = cos t ,
y = sin t , z = 2 + cos 2t , 0 ≤ t ≤ 2p.

Так как входящие в параметрические уравнения кривой Г функции
x (t ) = cos t , y (t ) = sin t , z (t ) = 2 + cos 2t являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра t при t Î , то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)

1 рода.

1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P 0 , P 1 , P n = В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.27)

Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму

Пусть , где .

λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L )на элементарные части, ни от выбора точек M i криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:

Замечание . Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).

Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:

Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:

1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:

3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .

4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:

5. , где - длина кривой.

1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.

Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда

То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .

Решение

Уравнение прямой проходящей через две точки: .

Тогда уравнение прямой (АВ ): , .

Найдём производную .

Тогда . = .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически : .

Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Для пространственного случая задания кривой: .Тогда

То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .

Пример

Найти длину дуги кривой , .

Решение

Длину дуги найдём по формуле : .

Для этого найдём дифференциал дуги .

Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .

3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда

То есть дифференциал дуги вычислют по формуле .

Пример

Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .

Решение

Массу дуги найдём по формуле:

Для этого найдёмдифференциал дуги .

Найдём производную .

1.2. Криволинейный интеграл 2 рода

1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода

Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L) . Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P 0 ,P 1 , P n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.28).

Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P i -1 P i на ось Оx . Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx , то проекцию дуг считают положительной , иначе - отрицательной .

Пусть , где .

Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х ) и обозначают:

Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:

Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают

Замечание. Если на (L ) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,

то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:

1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .

4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то

5. Если кривая (L ) лежит в плоскости:

Перпендикулярной оси Ох , то =0 ;

Перпендикулярной оси Oy , то ;

Перпендикулярной оси Oz , то =0.

6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.

Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN ) равна:

1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.

1. Пусть кривая (L ) задана уравнением .

Пример

Вычислить, где (L )- ломаная OAB : O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Решение

Так как (рис.29), то

1)Уравнение (OA) : , ,

2) Уравнение прямой (AB ): .

2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .

Замечание. В пространственном случае:

Пример

Вычислить

Где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).

Решение

Найдём уравнение прямой (АВ ):

Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .

Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.

Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t , равный: следовательно, t=1.

При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .

1.3. Формула Грина . L ) в т. М(х;у;z) с осями Оx, Оy, Oz

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D .

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :

Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2.

,

где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) .

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

, если L - контур, который образуют линия y = 2 − |x | и ось Oy .

Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x < 0 .

Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат.

Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями называется гладкой, если функции и имеют на отрезке непрерывные производные и причем Если в конечном числе точек отрезка эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называете я кусочно-гладкой. Пусть АВ - плоская кривая, гладкая или ку-сочно-гладкая. Пусть f(M) - функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой А В на части точками (рис. 1). Выберем на каждой из дуг A^At+i произвольную точку Mk и составим сумму где Alt - длина дуги и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть Д / - наибольшая издлин частичных дуг, т. е. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Определе нив. Если при интегральная сумма (I) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом \ -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом В этом случае функция /(М) называется интегрируемой вдоль кривой АВУ кривая А В называется контуром интегрирования, А - начальной, В - конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению, Пример 1. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью J(M). Найти массу т кривой L. (2) Разобьем кривую L на п произвольных частей) и вычислим приближен- но массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке /(Af*). Тогда сумма кшо где Д/д - длина Дг-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при Ы -* 0 (Д / = max Л/») получим точное значение массы всей кривой L, т.е. Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит, 1.1. Существование криволинейного интеграла 1-го рода Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис.2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями (3) где L - длина кривой АВ. Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x} у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной I: / (х(1)} у(1)). Обозначив через значение параметра I, отвечающее точке Мку перепишем интегральную сумму (I) в виде Это - интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны междусобой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом, (5) Теорема 1. Если функция /(М) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл (поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа). 1.2. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода 1. Из вида интегральной суммы (1) следует, что т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит ог направления интегрирования. 2. Линейность. Если для каждой из функций /() существует криволинейный интеграл по кривой ABt то для функции а/, где а и /3 - любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ> причем 3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков и для функции /(М) существует криволинейный интеграл по АВУ то существуют интегралы причем 4. Если 0 на кривой АВ, то 5. Если функция интегрируема на кривой АВ, то функция || также интегрируема на А В, и при этом б. Формула среднего значения. Если функция / непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что где L - длина кривой АВ. 1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями причем точке А соответствует значение t = to, а точке В - значение. Будем предполагать, что функции) непрерывны на вместе со своими производными и выполнено неравенство Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле В частности, если кривая АВ задана явным уравнением непрерывно дифференцируема на [а, Ь] и точке А соответствует значение х = а, а точке В - значение х = 6, то, принимая х за параметр, получаем 1.4. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между Тогда криволинейный интеграл взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы: Пример 2. Вычислитькриволинейный интеграл где L - контур треугольнике с вершинами в точка* (рис.3). По свойству аддитивности имеем Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: , то На отрезке АН имеем, откуда причем тогда Рис. Наконец, Следовательно, Замечание. При вычислении интегралов мы воспользовались свойством 1, согласно которому. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть А В - гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть - вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками координаты которых обозначим соответственно через (рис. 4). На каждой из элементарныхдуг АкАк+\ возьмем произвольно точку и составим сумму Пусть Д/ - длина наибольшей из дуг Определение. Если при сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек rjk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-города от вектор-функции по кривой АВ и обозначается символом Так что по определению Теорема 2. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-города существует. Пусть - радиус-вектор точки М(х, у). Тогда и подынтегральное выражение в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(M) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции по кривой АВ можно записать коротко так: 2.1. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями, где функции непрерывны вместе с производными на отрезке, причем изменению параметра t от t0 до t\ соответствует движение точки по кривой АВ отточки А к точке В. Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода сводится к следующему определенному интегралу: Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла. О) Пример 1. Вычислить интеграл вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки 2) вдоль параболы, соединяющей те же тонки) Уравнение линии параметр, откуда Так что 2) Уравнение линии AB: Отсюда поэтому Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависитот формы пути интегрирования. 2.2. Свойства криволинейного интеграл а 2-го рода 1. Линейность. Если существуют Свойства криволинейных интегралов 1-го рода для пространственных кривых Криволинейные интегралы 2-го рода Вычисление криволинейного интеграла Свойства Связь между то при любых действительных а и /5 существует и интеграл причем 2. Аддитеностъ. Если кривая АВ разбита на части АС и СБ и криволинейный интеграл существует, то существуют и нтегралы Последнее свойство соитвггггнусг физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода ках работы силового поля F вдоль некоторого путь: при изменении направления дешкения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный. 2.3. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода где ориентированная кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная точка) задана векгорным уравнением (здесь I - длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6). Тогда dr или где г = т(1) - единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(1). Тогда Заметим, что последний интеграл в этой формуле - криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной г заменяется на противоположный вектор (-г), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.

16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f (x ,y ,z ).Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f (x ,y ,z ) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f (x ,y ,z ) по кривой , и обозначается (или ).

Теорема существования. Если функция f (x ,y ,z ) непрерывна на кусочно-гладкой кривой , то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С . То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .

16.3.2.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем . Сформулировать и доказать их самостоятельно . Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой: .

Доказательство. Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек совпадают (всегда длина дуги ), поэтому равны их пределы при .

16.3.2.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вызывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой. Ещё раз подчеркнём, что интегрирование всегда ведётся в сторону возрастания параметра.

Примеры. 1. Вычислить , где - один виток спирали

Здесь переход к определённому интегралу проблем не вызывает: находим , и .

2. Вычислить тот же интеграл по отрезку прямой, соединяющей точки и .

Здесь прямого параметрического задания кривой нет, поэтому на АВ необходимо ввести параметр. Параметрические уравнения прямой имеют вид где - направляющий вектор, - точка прямой. В качестве точки берем точку , в качестве направляющего вектора - вектор : . Легко видеть, что точка соответствует значению , точка - значению , поэтому .

3. Найти, где - часть сечения цилиндра плоскостью z =x +1, лежащая в первом октанте.

Решение: Параметрические уравнения окружности - направляющей цилиндра имеют вид x =2cosj, y =2sinj, и так как z=x +1, то z = 2cosj+1. Итак,

поэтому

16.3.2.3.1. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху , и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Пример. Вычислить , где - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.

Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем , поэтому

2. Если за параметр взять переменную у , то и .

3. Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности : .

Если кривая задана в полярных координатах , то , и .