Как найти сечение конуса. Сечение прямого кругового конуса

В зависимости от расположения секцией плос­кости Р относительно оси прямого кругового кону­са получаются различные фигуры сечения, огра­ниченные кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 182. Основание конуса расположено на плос­кости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Фронтальная проекция фигуры сечения распо­ложена на фронтальном следе плоскости Р (рис. 182, а).

Для построения горизонтальной проекции кон­тура фигуры сечения горизонтальную проекцию основания конуса (окружности) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях прово­дят вспомогательные образующие. Сначала нахо­дят фронтальные проекции точек сечения 1′ ...12", лежащих на плоскости P 1 . Затем с по­мощью линии связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей s2, прое­цируется на горизонтальную проекцию этой же образующей в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действи­тельный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекций. Плоскость Я заменяется новой плоскостью проек­ции Н 1 .

На фронтальной плоскости проекции V фигура сечения – эллипс изображается в виде прямой 1"7", совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта прямая 1′7" является большой осью эллипса. Малая ось эллипса а"b" перпендикулярна к большой оси 1′ 7" и проходит

через ее середину. Чтобы найти малую ось сече­ния, через середину большой оси 1′7" эллипса проводят горизонтальную плоскость N, которая рассечет конус по окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса (a 0 b 0).

Построение развертки поверхности конуса (рис. 182, б) начинают с проведения дуги окруж­ности радиусом, равным длине образующей кону­са из точки S 0 . Длина дуги определяется углом α:

где d – диаметр окружности основания конуса; l – длина образующей конуса.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s 0 . От вершины откладыва­ют действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят,

как и в примере с пирамидой, способом в около вертикальной оси, проводящей через шину конуса. Так, например, чтобы получитьдействительную длину отрезка S2, надо из 2′ провести горизонтальную прямую до пересечения в точке b" с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Построение изометрической проекции усеченного конуса (рис. 182, в) начинают с по" основания – эллипса. Изометрическую проекцию любой точки кривой сечения находят с п. трех координат, как показано на рис. 182, в.

На оси х откладывают точки I...VII, взятые с горизонтальной проекции конуса. Из полученных точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты z, взятые с фронтальной проекции. Через полученные на наклонной оси

эллипса точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрезки 6 0 8 0 и 4 0 10 0 , взятые на действительном виде сечения.

Найденные точки соединяют по лекалу. Край­ние очерковые образующие проводят по каса­тельной к контуру основания конуса и эллипса.

Пример сечения прямого кругового конуса при­веден на рис. 182, г. Колпак сепаратора представ­ляет собой сварную конструкцию из тонкой лис­товой стали и состоит из двух конусов.

Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1).

Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими.

Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны.

Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым.

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Сечение цилиндра плоскостями

Если взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны - образующие цилиндра, а две другие стороны - параллельные хорды оснований.

Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1)

Пусть плоскость α - секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана.

Конус. Сечение конуса плоскостями

Определение. Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении ломаной, состоящей из гипотенузы и катета, образует поверхность конуса .

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении катета, образует фигуру, которая называется основанием конуса .

Понятно, что основание конуса есть круг с центром на оси вращения, радиус которого равен длине катета вращаемого треугольника, не совпадающего с осью вращения.

Определение. Множество точек конуса, полученное при вращении гипотенузы треугольника, образует фигуру, которая называется боковой поверхностью конуса .

Гипотенуза треугольника называется образующей конуса. Длина катета, лежащего на оси вращения, называется высотой конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор , радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r . Площадь кругового сектора равна , где α - градусная мера дуги ABA ´, поэтому

Выразим α через l и r . Так как длина дуги ABA ´ равна 2πr , то , откуда . Подставив это выражение в формулу для боковой поверхности, получим

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями .

1. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник , основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым .

1) Окружность (фиг.308,а), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса;
2) Эллипс (фиг.308,б) - замкнутую кривую, если секущая плоскость наклонена к оси вращения и пересекает все образующие конуса;
3) Параболу (фиг.308,в) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса;
4) Гиперболу (фиг.308,г) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса);
5) Прямые (фиг.308,д), если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
В третьем и четвертом случаях секущая плоскость не пересекает всех образующих конуса, вследствие чего кривая сечения будет разомкнутая.
1. Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью, проходящей через вершину конуса по двум образующим (фиг.309).

Фронтально - проектирующая плоскость δ пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB и хорде АВ основания конуса.
I. Фронтальная проекция S 2 A 2 и S 2 B 2 образующих представляет собой отрезки" совпадающие с фронтальной проекцией δ 2 ; фронтальная проекция хорды АВ является точкой В 2 = А 2 .
Горизонтальная проекция сечения изобразится равнобедренным треугольником A 1 S 1 B 1 сторонами которого будут проекции S 1 A 1 и S 1 B 1 образующих и основанием - проекция А 1 В 1 хорды.
II. Построение изометрической проекции усеченного конуса осуществляем в следующем порядке: строим изометрическую проекцию неусеченного конуса; на его основании проводим хорду АВ , пользуясь размером k . Точки А" и В" соединяем прямыми с вершиной S" . Обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг.310).

Горизонтальная плоскость уровня λ пересекает боковую поверхность конуса по окружности - параллели.
I. Фронтальная проекция фигуры сечения представляет собой отрезок, равный диаметру круга сечения D 1 совпадающий с фронтальной проекцией λ 2 . Горизонтальная проекция - круг.
II. Построение аксонометрической проекции (диметрии) усеченного конуса выполняется в следующем порядке.
II, а : на оси z" намечаем точку О" - центр основания и точку О" 1 - центр фигуры сечения на расстоянии, равном Н 1 . Приняв эти точки за центры, строим аксонометрические проекции основания и фигуры сечения - два овала, пользуясь размерами D и D 1 взятыми с горизонтальной проекции.
II, б. Проводим контурные образующие, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг. 311).

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком A 2 В 2 , сливающимся с проекцией δ 2 и равным большой оси эллипса.
Горизонтальные проекции А 1 и В 1 концов отрезка лежат на горизонтальных проекциях контурных образующих, места которых определяются при помощи вертикальных линий связи.
Фронтальная проекция малой оси эллипса выявлена точкой С 2 = D 2 , находящейся на середине отрезка A 2 B 2 . Горизонтальные проекции C 1 и D 1 концов малой оси лежат на проекциях образующих S 1 K 1 и S 1 K , у которых расстояние между точками С 1 и D 1 равно малой оси эллипса. Точки А, В и С, D - концы осей, называются опорными (характерными).
I, б. Горизонтальные проекции промежуточных точек Е, F, N и ¯М определяются при помощи дополнительных образующих; так же как и проекции точек С, D .
I. в. Натуральная величина фигуры сечения - эллипс - найдена способом перемены плоскости проекций, причем достаточно найти только опорные точки А, В, С и D ; зная, что длина отрезка А 2 В 2 равна большой оси эллипса, а расстояние между точками C 1 D 1 - малой оси, можно построить эллипс (см.фиг.150).
II. Для получения развертки поверхности усеченного конуса строят развертку поверхности неусеченного конуса, затем на развертку боковой поверхности наносят параллели радиусами R, R 1 , R 2 , R 3 и R 4 и образующие, при помощи которых найдены опорные и промежуточные точки. Для этого делят участки дуг на горизонтальной проекции между точками К 2 1 и К 1 1 ; К 1 1 и К 0 1 ; К 0 1 и К 3 1 на более мелкие части.
Через точки пересечения образующих с соответствующими параллелями проводят кривую линию сечения. Пристроив к любой точке линии сечения, например к точке В , соответствующей точкой эллипс - сечение, получают развертку поверхности усеченного конуса.
III. При построении аксонометрической проекции (изометрия) можно придерживаться такого порядка:
III, а. Строят аксонометрическую проекцию основания конуса; в основании на оси х" отмечают точки А" 1 , II" 1 , О" 1 , IV" 1 ,В" 1 , пользуясь размерами, взятыми с горизонтальной проекции. На прямых, проведенных из точек А" 1 и B" 1 откладывают высоты этих точек.
Затем соединяют полученные точки А", В" прямой и на ней, путем проведения вертикальных прямых из точек II" 1 ,O" 1 , IV" 1 , получают точки II" 1 , О" 1 , IV" 1 .
Через точки II", О", IV" проводят прямые, параллельные оси y" и на них находят точки F" и Е", D" и С", N" и М" , пользуясь размерами, взятыми на горизонтальной проекции сечения.
Точки А", Е", С, M", В", N", D", F и А" соединяют последовательно кривой; проводят контурные образующие и обводят видимые и невидимые элементы.
.

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком, сливающимся с проекцией δ 2
Горизонтальную проекцию сечения находят при помощи параллелей.
На проекциях боковой поверхности конуса наносят проекции параллелей (например, трех), причем меньшая должна проходить через точку D 2 пересечения проекции δ 2 проекцией контурной образующей.
I, б. Проекция δ 2 пересекает проекции основания и параллелей в точках A 2 , В 2 , С 2 , D 2 и С 1 2 , В 1 2 , А 1 2 .
Пользуясь вертикальными линиями связи, находят горизонтальные проекции A 1 , B 1 , C 1 , D 1 и С 1 1 , В 1 1 , A 1 1 этих точек.
Проведенная плавная кривая через точки А 1 В 1 С 1 D 1 С 1 1 , В 1 1 и А 1 1 явится горизонтальной проекцией линии пересечения, а прямая А 1 А 1 1 - проекцией линии сечения основания конуса.
I, в. Фигуру сечения конуса возможно найти или способом перемены плоскостей проекции, или путем построения параболы по данной вершине D 1 и точкам А 1 А 1 1 , положение которых определяется по комплексному чертежу.
II. Построение развертки боковой поверхности аналогично приведенному в предыдущем примере. Для получения полной развертки пристраивают к соответствующей точке дуги сектора, например к точке IV круг - основание конуса; проводят хорду A 1 0 A 0 , пользуясь размером k , и пристраивают к этой хорде сечение.
III, а. Для построения аксонометрической проекции (изометрии) сначала строят аксонометрическую проекцию основания конуса, проводят на нем хорду A 1 1 A 1 , пользуясь размером k , и отмечают вторичные проекции точек В" 1 , C" 1 , D" 1 , C" 1 1 , B" 1 1 используя размеры x 1 , x 2 , х 3 и y 1 , y 2 . На вертикальных линиях, проведенных из этих точек, откладывают высоты z 1 , z 2 и z 3 , получают аксонометрические проекции точек параболы. Затем соединяют последовательно точки А" 1 , В", С 1 ", D", О", В 1 " и А 1 1 " плавной кривой и получают аксонометрическую проекцию параболы.
III. б. Потом проводят контурную образующую и обводят видимые и невидимые элементы.

90 ° .

2. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Сечение - прямоугольник.

3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

АВ и CD лежат в параллельных плоскостях.

Н - высота цилиндра.

4. Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Первая деталь Вторая деталь

2l , l - высота (образующая),

r/2, r - радиус основания,

Боковые поверхности равны, но площадь двух оснований второй детали больше площади двух оснований первой детали.

5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?

а) да; б) да.

6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Равнобедренный треугольник.

7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 √2 см лежать на сфере радиуса √5 см?

Вычислим гипотенузу прямоугольного треугольника:

Гипотенуза не помещается внутри сферы, тогда, хотя бы одна вершина лежит вне сферы.

9. Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Одна сфера всегда будет внутри другой, поэтому общую касательную плоскость провести невозможно.

10. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

Это сфера, у которой данный отрезок является диаметром.