Примеры открытых множеств. Свойства открытых множеств
§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
Теорема 1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.
Пусть G k – открытые множества.
Докажем, что– открытое множество.
Возьмем любую точку х о G . По определению объединения множеств точка х о будет принадлежать хотя бы одному из множеств G k . Т.к. G k – открытые множества, то существует - окрестность точки х о , которая полностью принадлежит множеству G k :
Получили, что любая точка х о G – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество.
Теорема 2 . Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.
Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.
Докажем, что 
– открытое множество.
Возьмем любую точку х о G . По определению пересечения множеств х о принадлежать каждому из множеств G k . Т.к. множества G k открытые, то в любом множестве G k существует k - окрестность точки х о : U ( x o , k ) G k . Множество чисел { 1 , 2 ,…, n } конечное, поэтому = min { 1 , 2 ,…, n }. Тогда - окрестность точки х о принадлежит каждой k - окрестности точки х о :
Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество.
Замечание 1. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.
Пример 1 . Пусть в пространстве R где k = 1,2,…,n , ….
Теорема 3 . Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.
Пусть F k – замкнутые множества.
Докажем, что множества 
замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.
Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.
Пусть множества F k – замкнутые.
Докажем, что множество 
замкнутое, т.е., если х
о
F
, то х
о
F
.
Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.
Пример 2 . В пространстве R : F k =
Теорема 5 . Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – открытое множество.
Пример .3 . Е= , C R E =
Теорема 6 . Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – замкнутое множества.
Пример 4 . Е= (2,5), C R E =
§7. Последовательности точек метрического пространства
Определение
1
.
Последовательностью точек метрического пространства
(Х,
)
называется отображение
f
множества натуральных чисел N
в множество Х
: f
:
N
X
.
Значение этого отображения в точке n N называется n -м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x n = f (n ). Последовательность будем обозначать (x n ) или (х 1 ,х 2 ,…, х n … ).
Пример 1. В пространстве R 2 : х n = (1 n , n + 1/ n ));
Пример 2 . В пространстве С : (х n = (1/ nx + n 2 x )) где a ,b не содержит 0.
Определение 2 . Пусть (x n Х, ), (k 1 , k 2 ,…, k n ,… ) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (x kn ) называется подпоследовательностю последовательности (x n ).
Пример 3. Последовательность (1/ n 2 ) – подпоследовательность последовательности (1/ n ).
Определение
3
.
Пусть (x
n
)
Х,
),
Последовательность
(x
n
) называется ограниченной
, если существует замкнутый шар с центром а
и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е. 
.
Замечание 1 . Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.
Определение 4. Пусть (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х, ). Точка а Х называетсяпределом последовательности (x n ) если:
( N n ( , n N x n , a
или, что тоже самое, числовая последовательность (
x
n
,
a
)) - бесконечно малая (стремится к 0), при n
,т.е. 
и абазначаецца
по метрике
или 
, при
n
.
Если последовательность (x n ) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х, ) сходится к точке а Х , то а – предельная точка последовательности (x n ).
Обратное не всегда имеет место.
Замечание 2 . Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться
Пример
4.
Последовательность (1/
n
) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х
,
),
где 
(x
,
y
)=
х
у
, т.к. 0
.
Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.
Теорема 1. Если (x n ) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х, ), то её предел единственный.
x
n
,a
0
и 
x
n
,b
0.
По аксиомам метрики 0 a , b x n , a + x n , b . Переходим к пределу, при n , Получим a , b = 0 a = b .
Теорема 2 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х, ) – сходящаяся, то она ограниченная.
Пусть 
.
Теорема 3 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х, ) сходится к точке а Х , то любая её подпоследовательность сходится к а .
Пусть 
– любая подпоследовательность последовательности
(x
n
). По условию . Это означает, что:
n
x
n
,а
.
Т.к. k
n
n
, то для всех n
>
N
верно k
n
>
N
и поэтому 
.
Таким образом мы доказали, что
n
, это означает, что 
.
§8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых
метрических пространствах
Теорема 1 (о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. R m ). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R m
(х n = (х 1 ( n ) ,х 2 ( n ) ,…, х m ( n ) ) сходилась к точке а = (а 1 ,а 2 ,…, а m ) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х 1 ( n ) ), (х 2 ( n ) ),…, (х m ( n ) ) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а 1 ,а 2 ,…, а m , т.е.
,
,...,
(1)
Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (х n ) сходится к точке а покоординатно.
1. Пусть в м.пр. R m . (2)
Докажем, что выполняются равенства (1).
В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R m будем иметь:
n x n ,а ,
где - метрика метрического пространства R m :
x,y
R
m
.
2. Пусть выполняются равенства (1).
Докажем, что (2) в метрическом пространствеR m .
Пусть
- любое положительное число рассмотрим число 
. Тогда
Пример 1 . Найти предел a = (a 1 , a 2 ) последовательности
в пространстве R 2 .
Таким образом, = (1/4;3).
Теорема 2 (Больцана-Вейерштрасса в м.пр. R m ). Из всякой ограниченной последовательности пространства R m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Чвстный случай этой теоремы для пространства R 1 был доказан на первом курсе.
Теорема 3 . Для того, чтобы последовательность (x n ) точек м.пр. С [ a , b ] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x n ) равномерно сходилась к х на [a , b ].
Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.
Известно, что фукциональная последовательность (x n ) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда
С учётом определения метрики в м.пр. С [a , b ] получаем равенство
(см. опр. 4 §7) 
по метрике
в м.пр. С
[a
,
b
].
Пример 2. x n (t ) = t n t ; n N . известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x n (t ) = t n равномерно сходится да предельной фукции x (t ) = 0. Таким образом t ; последовательность (x n ) сходится к функции х = 0 в м.пр. С .
Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X , ), то существует последовательность (x n ), члены которой принадлежат Е и не равны а , причём (x n ), сходится к а в этом метрическом пространстве.
Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R .
Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,
о (x
,
y
) = 
то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.
Замечание 2.
Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой 
, то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.
§9. Полные метрические пространства
Определение 1 . Последовательность (x n ) метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если
Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.
В пространствеR любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х, ) сходится в этом пространстве.
Пример 1 . В м.пр. Х = (Q ; = х у ) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е X (е I ).
Определение 2 . Метрическое пространство называется полным метрическим пространством , если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.
Пример 2 . Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R . Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).
Пример 3 . Докажем, что пространство R m - полное метрическое пространство.
Пусть последовательность(x n = x 1 (n ) , x 2 (n ) ,…, x m (n )) (1)
любая фундаментальная последовательность пространстваR m . Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R m .
Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR m
0
N(
)
N
p,n >N
(x
p
,x
n
)
Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x 1 ( n ) ), (x 2 ( n ) ),…, (x m ( n ) ), а значит и их сходимость (по критерию Коши).
Пусть 
Рассмотрим точку а = (а 1 , а 2 , …, а m ). Т.к. а 1 , а 2 , …, а m R , то а R m . По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R m последовательность (x n ) сходится к а R m . Это означает, что пространствоR m полное метрическое пространство.
Пример 4 . Докажем, что метрическое пространство С [a , b ] является полным.
Пусть (x n ) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С [a , b ] , её члены – непрерывные на [a , b ] фукции.
Докажем, что последовательность (x n ) сходится в метрическом пространстве С [ a , b ] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a , b ].
По определению фундаментальной последовательности
Это означает, что
t
[a
,
b
] (фиксируем t
) фундаментальной является числовая последовательность (x
n
(t
)
). Значит она имеет предел, который обозначим через 
для каждого фиксированного t
[a
,
b
].
Покажем, что предельная фукция x (t ) непрерывная на [a , b ]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m . Получим
x (t ) x n (t ) n>N t [a,b ].
Таким образом, мы доказали, что
0N N m,n > N x (t ) x n (t ) t [a,b ].
А это значит, что последовательность (x n ) равномерно сходится к фукции х на [a , b ]. Т.к. все члены последовательности (x n ) непрерывные на [a , b ] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С [ a , b ]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x n ) сходится к х . Значит пространствоС [ a , b ] – полное метрическое пространство.
Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохав ым пространство м .
Банохавыми пространствоми, являются пространства:
R
п
с нормами 
, 
;
l 2 с нормой векторов x = (x n ) = (x 1 , x 2 , … )
C [a
,
b
] с нормой функций x
(t
) 
.
А пространство C 1 [a , b ] с нормой не является баноховым.
Определение 2 . Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством .
Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.
Информатики, 4 курс, 1-2 модуль) Определение метрического пространства (м.п.). Примеры . Открытые и замкнутые множества в м.п. Сходимость... линейные отображения нормированных пространств . Примеры . Нормированное пространство линейных отображений. Теорема...
Лекция № 3 Метрические пространства Открытые и замкнутые множества
Лекция... пространств . Определение 4. Метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого пространства! ). Примеры . 9) В пространстве ...
К ИЗУЧЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
ДокументЧто получаем эквивалентное определение метрического пространства . 4. Докажите, что для произвольного метрического пространства áX, rñ эквивалентны утверждения... непрерывные отображения метрических пространств непрерывны. Покажите на примере , что...
Доказательство .
1) Действительно, если точка а принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а , но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а является внутренней точкой объединения. Так как а – произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством.
2) Пусть теперь Х – пересечение конечного числа открытых множеств . Если а есть точка множества Х , то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда интервал будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е. будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х , т.е. множество Х является открытым.
Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством. Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?).
Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.
Так, точка является предельной точкой отрезка , так как в любом проколотом интервале точки есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много.
Легко доказать, что каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка , будут предельными точками для интервала (0, 1 ) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1 не принадлежат интервалу (0, 1). На данных примерах мы видим, что
предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.
Множество Х называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.
Так,всякий отрезок есть замкнутое множество . Интервал (0, 1) не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1 . Множество всех рациональных чисел Q не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число является предельной точкой множества Q (докажите!), но Q .
Так как каждая точка множества R является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество .
Всякое конечное множество является замкнутым, так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ , которое принадлежит самому множеству.
Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок , и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна
Функции нескольких переменных.
При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных.
Примеры.
1) Площадь прямоугольника со сторонами х и у: S=xy.
2) Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами x,y,z: V=xyz.
3) По закону Ома, напряжение U в цепи электрического тока связано с сопротивлением R цепи и силой тока I зависимостью U=RI. Если считать U и R данными, то I определится как функция от U и R: I= .
Элементами арифметического пространства R n являются упорядоченные наборы из n действительных чисел (х 1 ,х 2 ,…,х n). Эти упорядоченные наборы называются точками n-мерного пространства или n-мерными векторами.
х=(х 1 ,х 2 ,…,х n), у=(у 1 ,у 2 ,…,у n). х 1 ,х 2 ,…,х n – координаты точки.
Определение . Расстояние между точками х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) и у=(у 1 ,у 2 ,…,у n):
d(x,y)= 
(1)
Свойства расстояния :
1) d(x,y)³0, причем, d(x,y)=0 Û х=у, т.е. x i =y i "i=1,2,…,n.
2) d(x,y)=d(y,x) – свойство симметрии.
3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎR n – неравенство треугольника ( £ + ).
Пусть a(а 1 ,а 2 ,…,а n) – произвольная точка пространства R n и пусть R>0 – некоторое число. Множество всех точек x(х 1 ,х 2 ,…,х n):
В(a,R)={xÎR n: d(x,a) (a,R)={xÎR n: d(x,a)£R} – замкнутый шар (сфера) с центром в точке а и радиуса R. S(a,R)={xÎR n: d(x,a)=R} – сфера в R n . Следовательно, уравнение сферы в R n: Определение
. Пусть имеются числа a 1 ,…,a n и b 1 ,…,b n такие, что a 1
называют открытым параллелепипедом – Р
. Множество всех точек M(х 1 ,х 2 ,…,х n)ÎR n , для которых называют закрытым параллелепипедом –
. Точка С( ,…, ) – центр параллелепипеда
. Открытую сферу любого радиуса R>0 с центром в точке М 0 ( ,…, ) можно рассматривать как окрестность
этой точки. (Аналогично, в качестве окрестности можно рассматривать открытый параллелепипед с центром в точке М 0 ( ,…, )). Определение
. Пусть Е – некоторое множество точек из R n . Множество Е называется ограниченным
, если существует число R>0 такое, что все точки множества Е оказываются лежащими внутри сферы радиуса R с центром в точке О(0,…,0). Теорема
. Пусть множество Е(М)ÌR n . Пусть {x 1 } - множество, которое образуют первые координаты точек МÎЕ, ………………………………………………………………………….. {x n } - множество, которое образуют n-е координаты точек МÎЕ. Для того, чтобы множество Е(М) было ограниченным необходимо и достаточно, чтобы были ограниченными одновременно множества {x 1 },..., {x n }. Доказательство
. Необходимость
. Пусть Е(М) – ограниченное. Следовательно, существует число R>0 такое, что d(M,O) 0£êx 1 ê£ А это и означает, что множества {x 1 },..., {x n } ограничены. Достаточность
. Пусть множества {x 1 },..., {x n } – ограниченные. Следовательно, $С>0: êx 1 ê т.е., d(M,O) Определение.
Множество называется открытым
, если каждая точка этого множества входит в него вместе со своей окрестностью. Свойства открытых множеств.
1) множества R n и Æ - открытые. 2) Объединение любой системы открытых множеств – открыто (показать). 3) Пересечение конечной системы открытых множеств – открыто (показать). Точка М 0 ÎЕ называется точкой сгущения
множества ЕÌR n , если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от М 0 . Определение.
Множество FÌR n называется замкнутым
, если его дополнение в R n открыто (т.е. если R n \F – открыто). Точки сгущения открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками
этого множества. Пограничные точки образуют границу
множества. Открытое множество со своей границей называется замкнутым
. Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Мы познакомим читателя с этой теорией на двух примерах. Именно, мы изучим здесь свойства так называемых замкнутых и открытых множеств. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельпой точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым, если каждая его точка является для него внутренней. Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал - открытое множество. Несобственные полуинтервалы замкнуты, а несобственные интервалы открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку которая принадлежит множеству. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства. 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. 2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество. 3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань. Пусть Е - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества Е и обозначим через множество всех точек на прямой, не принадлежащих множеству Е. Ясно, что если х есть внешняя точка для Е, то она является внутренней точкой для множества и обратно. 4. Если множество F замкнуто, то его дополнение открыто и обратно. Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества. Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству а точки а и принадлежат называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или если точка а или точка принадлежит множеству а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка х не принадлежит замкнутому множеству то она принадлежит одному из его смежных интервалов. Обозначим через часть множества расположенную правее точки х. Так как сама точка х не принадлежит множеству то можно представить в форме пересечения Каждое из множеств F замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал принадлежит множеству Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал лежащий левее точки не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества Итак, мы построили полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо точка принадлежит множеству Аналогично строится полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо а Теперь ясно, что интервал содержит точку х и является смежным интервалом множества Легко видеть, что если - два смежных интервала множества то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются. Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов более чем счетно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов. В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым). Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение. Канторово совершенное множество. Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой Р. Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество Р замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого множества непересекающихся интервалов. Множество Р не пустот во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов. Замкнутое множество F называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество Р совершенно. Действительно, если бы некоторая точка х была изолированной точкой множества Р, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества Р не имеют общих концов. Множество Р не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству Р. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на шаге построения множества Р. Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к пулю. Можно показать, что множество Р имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество. Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии. Приведем несколько примеров появления точечных мпожеств в классических разделах анализа. Пусть - непрерывная функция, заданная на отрезке Зафиксируем число а и рассмотрим множество тех точек х, для которых Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке Точно так же множество точек х, для которых может быть каким угодно открытым множеством Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке то множество тех точек х, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу. Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др. Исследования Н. Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств. Определение 19.
МножествоЕ
называетсяоткрытым
,
если все его точки являются внутренними,
то есть если оно не содержит своих
граничных точек. Определение 20.
МножествоЕ
называетсязамкнутым
,
если оно содержит все свои предельные
точки, то есть.
(Иначе, Пример
1.
Любоеn
-мерный
интеграл – открытое множество. Любой
отрезок – замкнутое множество. Следует
обратить особое внимание на то что,
классы замкнутых и открытых множеств
не охватывают вместе всех множеств,
кроме того, эти классы пересекаются.
Существуют множества, которые не являются
ни замкнутыми, ни открытыми, а так же
множества, которые одновременно являются
и замкнутыми, и открытыми. Пример
2.
Пустое множество следует
считать замкнутым, хотя оно в то же время
является и открытым. МножествоR
действительных чисел одновременно
является и замкнутым, и открытым. Множество Q
рациональных чисел ни замкнуто, ни
открыто. Линейный полуинтервал - ни
замкнутое, ни открытое множество. Теорема
3.
Любой шарS
(a
,
r
)
- открытое множество. Доказательство:
Пусть
.
Возьмём Следовательно,
Теорема
4.
Производное множество Доказательство:
Пусть
Следует
заметить, что в частном случае производное
множество
Теорема 5.
Объединение любого конечного числа
замкнутых множеств является замкнутым
множеством. Доказательство:
Пусть
Пусть
Теорема
6.
Пересечение любого числа
замкнутых множеств является замкнутым
множеством. Доказательство:
Пусть
Пусть
Теорема
7.
Если множествоF
замкнуто, то его дополнениеCF
открыто. Доказательство:
Пусть
.
Так как Теорема
8.
Если множествоG
открыто, то его дополнениеCG
замкнуто. Доказательство:
Пусть
вместе с некоторой окрестностью.
Следовательно, Теорема
9.
Объединение любого числа
открытых множеств является открытым
множеством. Доказательство:
Пусть
Так как
множества
Теорема 10.
Пересечение любого конечного числа
открытых множеств является открытым
множеством. Доказательство:
Пусть
Так как
множества
=R (2)
).
.
Докажем, что шар
(это будет означать, что любая точка
шара
- внутренняя, то есть
- открытое множество). Возьмём.
Докажем, что
,
для этого оценим расстояние
:
,
то есть
,
то естьS
(a
,
r
)
- открытое множество.
любого множестваE
замкнуто.
.
Тогда
в
любой окрестности
точки
существует хотя бы одна точка
множества
,
отличная от
.
Так как
- предельная точка множестваE
,
то в любой её окрестности (в том числе
сколь угодно малой, содержащейся в
)
существует хотя бы одна точка
множестваE
, отличная
от точки
.
Таким образом, по определению точка
является предельной точкой для множестваE
.
Итак,
,
что по определению означает замкнутость
множестваE
.
может оказаться пустым.Свойства открытых и замкнутых множеств
-
замкнутые множества. Докажем, что
- замкнутое множество.
- предельная точка множества
.
Тогда
- предельная точка хотя бы одного из
множеств
(доказывается от противного). Так как
- замкнутое множество, то
.
Но тогда
.
Итак, любая предельная точка множества
ему принадлежит, то есть
замкнуто.
- любая совокупность замкнутых множеств.
Докажем, что
- замкнутое множество.
- предельная точка множества
.
Тогда по теореме 1 в любой окрестности
.
Но все точки множества
являются и точками множеств
.
Следовательно, в
содержится бесконечно много точек из
.
Но все множества
замкнуты, поэтому
и
,
то есть
замкнуто.
замкнуто, то
не является его предельной точкой (
).
Но это означает, что существует окрестность
точки
,
не содержащая точек множестваF
,
то есть
.
Тогда
и поэтому
- внутренняя точка множества
. Так как
- произвольная точка множестваCF
,
то все точки этого множества являются
внутренними, то естьCF
открыто.
не является предельной точкой множестваCG
. Итак,
не является предельной точкой для
,
то есть
содержит все свои предельные точки. По
определению,
замкнуто.
- произвольная совокупность открытых
множеств
и
.
Докажем, что
- открытое множество. Имеем:
.
открыты
,
то по теореме 8 множества
замкнуты
.
Тогда по теореме 6 их пересечение
открыто.
- пересечение любого конечного числа
открытых множеств
.
Докажем, что
- открытое множество. Имеем:
.
открыты
,
то по теореме 8 множества
замкнуты
.
Тогда по теореме 5 их объединение
замкнуто. По теореме 7 множество
открыто.