Определение главных напряжений при изгибе. Главные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе балки от произвольной внешней нагрузке в ее поперечных сечениях возникают перерезывающие силы и изгибающие моменты (рис. 8.20, а ).

К изгибающему моменту М в сечении х приводят нормальные напряжения , действующие перпендикулярно плоскости поперечного сечения (рис. 8.20, б ). Перерезывающая сила является равнодействующей касательных напряжений , действующих в плоскости сечения.

Приведем формулы для вычисления этих напряжений, необходимых для проверки прочности балки.

Рассматривая деформацию волокна балки, проходящего через точку А сечения балки (см. рис. 8.20, б ), можно получить формулу для нормальных напряжений :

где – изгибающий момент в сечении х по длине балки; – вертикальная координата т. А , отсчитываемая от нейтральной оси (н.о.) сечения, где определяется напряжение; – центральный осевой момент инерции сечения балки относительно центральной оси z (н.о.), проходящий через центр тяжести сечения.

Из формулы (8.11) следует, что нормальные напряжения распределяются по высоте сечения по линейному закону: для изогнутой при изгибе балки (см. рис. 8.20, а) верхние волокна балки сжимаются (такие напряжения принимаются со знаком «-»), а нижние – растягиваются (принимаются со знаком «+»). Поэтому, чтобы автоматически учесть знаки напряжений, изгибающего момента М и ординаты y , в формуле (8.11) указывается знак минус. Именно в такой форме эта формула будет применятся ниже.

График изменения нормальных напряжений по высоте изгибаемой балки (см. рис. 8.22, а ) называется эпюрой (эп. ), показанной на рис. 8.21, а .

Эп. показывают в плоскости сечения балки (рис. 8.21, б , в ), разворачивая действительную эпюру в объемном изображении по направлению к оси z на 90˚.

Рисунок 8.21 – Эпюры нормальных и касательных напряжений для балки прямоугольного сечения

Эпюры показываются знаками напряжений , откладывая положительные значения справа, а отрицательные – слева от вертикальной линии.

Из эпюры видно, что максимальные нормальные напряжения по модулю возникают в наиболее удаленных от н.о. точках сечения балки при .

Величина в формуле (8.11), зависящая только от размеров и формы поперечного сечения балки и называемая осевым моментом сопротивления сечения, рассчитывается по формуле

Следовательно, условие прочности на изгиб балок по нормальным напряжениям будет:

Для балок симметричного профиля относительно н.о. величина одинакова для кратных точек сечения.

Для балки несимметричного поперечного сечения, например, несимметричный двутавр (рис. 8.22, а ) Эп. показанна на рис. 8.22, б .

Рисунок 8.22 – Эпюры нормальных и касательных напряжений для несимметричного двутавра

Для такой балки

где – минимальный момент сопротивления сечения, .

Для большинства балок в различных конструкциях нормальные напряжения являются наибольшими и по ним проверяется прочность таких элементов конструкций:

где – наибольший по модулю изгибающий момент в опасном сечении балки; – допускаемое нормальное напряжение, равное ( – коэффициент запаса прочности, – предел текучести материала).

Условие прочности (8.15) дает возможность решать такие три задачи: 1) определять напряжение, если известны изгибающий момент, действующий на балку, и момент сопротивления сечения; 2) определять допустимую нагрузку через изгибающий момент и момент сопротивления сечения; 3) определять момент сопротивления, а по нему и размеры сечения, если известны изгибающий момент и допускаемое напряжение.

Формула для касательных напряжений при поперечном изгибе балки была впервые получена Д.И. Журавским при рассмотрении условия равновесия отсеченного элемента балки и носит имя формулы Журавского :

где – перерезывающая сила в сечении балки; – момент сопротивления части площади сечения балки по одну сторону от точки А (см. рис. 8,22, а ), где рассчитывается величина ; – центральный момент инерции площади поперечного сечения балки, относительно горизонтальной оси z ; – горизонтальный размер сечения балки, где вычисляется .

Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки называется эпюрой (эп. и соответствует закону квадратичной параболы (см. рис. 8.22, в , г ). Знаки напряжений на эп. не проставляются. Наибольшие касательные напряжения возникают в точке центра тяжести сечения балки, а в крайних точках по высоте сечения – .

Следует заметить, что для балок составного поперечного сечения (например, составной двутавр на рис. 8.22, а ) в точках сопряжения стенки и полок значения будут двузначны, т.к. для стенки величина формуле (8.16) соответствует толщине стенки t , а для полок величина равна их ширине. Поэтому на эп. (см. рис. 8.22, в ) величины касательных напряжений в полках значительно меньше величин , относящихся к одноименным точкам стенки. Этими небольшими напряжениями в полках пренебрегают и строят эпюру только для стенки (см. рис. 8.22, г ).

Для коротких и высоких балок величины касательных напряжений соизмеримы с величинами нормальных напряжений . Поэтому для таких балок, где существенную роль играет деформация сдвига, проверяется условие прочности по касательным напряжениям , где – допускаемое касательное напряжение, выбираемое из нормативных документов.

С проверками прочности балок связаны гипотезы прочности.

Для простейший напряженных состояний условия прочности состоят в сопоставлении максимальных напряжений с величинами допускаемых напряжений:

а) для одноосного растяжения-сжатия (рис. 8.23, а)

б) при сдвиге (срезе) на рис. 8.23, б

Наличие поперечной силы в сечении балки обуславливает появление касательных напряжений т в произвольном слое сечения.

Касательные напряжения определяются по формуле Д. И. Журавского:

где Q y - поперечная сила в рассматриваемом сечении; S x OTC - статический момент части сечения, расположенного выше рассматриваемого слоя от­носительно главной центральной оси х, I х - осевой момент инерции сече­ния балки; b - ширина слоя, в котором определяются касательные напря­жения. Знак касательных напряжений определяется знаком поперечной си­лы Q y в рассматриваемом сечении. Эпюры касательных напряжений по высоте балки приведены на рис 3, б. Закон изменения касательных напря­жений зависит от закона изменения статического момента по высоте сечения S x отс.

Условие прочности по касательным напряжением имеет следующее выражение:

(5)

где Q ymax - максимальная поперечная сила в сечении балки;
- макси­мальное значение статического момента отсеченной площади; [τ] - допус­каемое касательное напряжение. Для пластичных материалов [τ]= τ 0.3 /n T , для хрупких [τ]= τ в /n в, где τ в, τ 0,3 - условный предел текучести при круче­нии. Поскольку значение τ в, τ 0,3 для многих материалов в справочной лите­ратуре отсутствуют, то значение [τ] рекомендуется принимать: для пла­стичных материалов [τ]=(0,5.. 0,6)[σ], для хрупких [τ]=(0,7.. .0,8)[ σ].

Главные напряжения при плоском поперечном изгибе. Условие прочности по эквивалентным напряжениям

При поперечном изгибе материал балки находится в условиях плоского напряженного состояния. В этом случае по одним площадкам действуют одновременно нормальные а и касательные т напряжения, а по другим - главные нормальные напряжения , имеющих экстремальные значения

Значения этих напряжений определяются по следующим зависимостям

(6)

где
- нормальные и касательные напряжения в рассматриваемомi-том опасном слое сечения.

Расчет на прочность по главным напряжениям производится по одной из теорий прочности по эквивалентному напряжению.

По третьей теории прочности (
) условие прочности имеет вид:

(7)

По четвертой теории прочности условие прочности имеет вид:

(8)

Для балок, имеющих сплошные сечения (круг, прямоугольник, квадрат и др.) проверочные расчеты на прочность по главным на­пряжениям обычно не производится в связи с малостью а и т. Основным условием прочности в этом случае (при плоском изгибе) является условие прочности по нормальным напряжениям.

Проверочные расчеты по главным напряжениям необходимо проводить для балок, в сечениях которых имеет место резкие изме­нения размеров (переход от широкой полки к стенке). Это характерно, в частности, для сечений прокатных и сварных балок двутаврового сечения. Если такая балка проектируется вновь, то ее размеры определяют из усло­вия прочности по нормальным напряжениям (Рис. 3, а. б.):

где Мхтах - максимальный изгибающий момент в сечении балки.

где Q ymax - наибольшая поперечная сила в сечении;
- максималь­ный статический момент для расчетного сечения (из таблиц сортамента);I х - момент инерции сечения; d - толщина стенки двутавра.

Проверочный расчет по эквивалентным напряжениям проводится для сечения, где действуют возможно больший изгибающий момент и боль­шая поперечная сила. В этом сечении расчет проводится для слоя, где дей­ствуют одновременно достаточно большие нормальные G и касательные т напряжения.

Из анализа проведенных расчетов возможны корректировки в выбран­ных сечениях (см. пример 4).

В приложении приведен пример расчетов по проектированию балки двутаврового сечения.

При плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий моментМ и поперечная сила Q , возникают не только нормальные
, но и касательные напряжения.

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

;
.(6.24)

П

Рис.6.11. Плоский изгиб

ри выводе формулы примем некоторые допущения:

Касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

Касательные напряжения всюду параллельны силе Q .

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы Р . Построим эпюры внутренних усилий О y , и М z .

На расстоянии x от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной d x и шириной, равной ширине балки b . Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q y и изгибающий момент М z , а на грани ab – также поперечная сила Q y и изгибающий момент M z +dM z (так как Q y остается постоянной по длине балки, а момент М z изменяется, рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d , покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn , и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего момента М z , возникают нормальные напряжения:

; (6.25)

. (6.26)

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Q y , возникают касательные напряжения , такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn , проецируя равнодействующие рассмотренных напряжений на ось x :

. (6.29)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси x , поэтому можем записать

. (6.30)

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,

, (6.31)

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского )

. (6.32)

Проанализируем формулу Журавского.

Q y – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

J z – осевой момент инерции сечения относительно оси z ;

b – ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;

–статический момент относительно оси z части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение:

, (6.33)

где и F " – координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.

6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

Сечение, в котором изгибающий момент М z достигает своего максималь­ного по модулю значения;

Сечение, в котором поперечная сила Q y , достигает своего максимального по модулю значения;

Сечение, в котором и изгибающий момент М z и поперечная сила Q y дости­гают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

Точка, в которой нормальные напряжения , достигают своего макси­мального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

Точка, в которой касательные напряжения достигают своего макси­мального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина сечения по высоте непостоянна).

Величины главных напряжений и углы наклона главных площадок в балках при поперечном изгибе можно определить по формулам (4.27) и (4.28) двухосного напряженного состояния:

Как уже было установлено, при поперечном изгибе в сечении балки действуют нормальные напряжения о^ио^и касательные напряжения х ух = х. Однако нормальные напряжения с у по сравнению с о х существенно малы, и обычно их принимают равными нулю. Таким образом, будем исходить из того, что при поперечном изгибе в балке возникают напряжения

Следовательно, имеет место частный случаи двухосного напряженного состояния (рис. 7.43):

Тогда формулы (7.38) и (7.39) принимают вид

При условии M z > 0 и Q y > 0 рассмотрим в поперечном сечении балки три характерные точки (рис. 7.44): в верхнем, сжатом волокне (точка Л), в нейтральном слое (точка В) и в нижнем, растянутом волокне (точка С).

В точке Л согласно эпюрам о у и т на рис. 7.30 и 7.34 Так как

при этом Gj = 0, то первая из формул (7.42) превращается в неопределенность, а вторая дает а 2 = 0.

Аналогично в точке С и первая из формул (7.42)

дает 0Cj = 0.

В точке В имеем: . В этом случае из формул (7.41)

получим

Формулы (7.42) дают

Таким образом, при поперечном изгибе в точках нейтрального слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в верхних и нижних волокнах - одноосное напряженное состояние. Если в различных точках известны направления главных напряжений, то можно построить траектории главных напряжений, то есть линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.

На рис. 7.45 для балки, заделанной одним концом и нагруженной силой Р, сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих напряжений о, а пунктирными - главных сжимающих напряжений о 2 . Траектории главных напряжений и о 2 являются взаимноортогональными кривыми, пересекающими ось балки под углами 45°.

По траекториям о, можно судить о возможном месте и направлении трещин в балках из хрупких материалов. При армировании железобетонных балок арматуру необходимо располагать в зонах растяжения и по возможности по направлению главных напряжений. Эта задача решается с помощью траекторий главных напряжений.

В случае поперечных сечений с резко изменяющейся шириной (например, двутавр) могут возникнуть большие главные напряжения. Рассмотрим числовой пример.

Пример 7.8. Для балки, изображенной на рис. 7.21 и имеющей сечение 130а, определим главные напряжения.

По таблице сортамента находим момент сопротивления W = = 518 см 3 , момент инерции / = 7780 см 4 и статический момент половины сечения S^ 2 = 292 см 3 . Основные размеры сечения показаны на рис. 7.46 в сантиметрах.

Определим статический момент полки относительно нейтральной оси:

Точки, в которых нужно определить главные напряжения, находим в следующем порядке: сначала отметим те сечения, в которых изгибающий момент и поперечная сила имеют одновременно большие значения, и построим для этих сечений эпюры напряжений о ит. Затем для каждого из этих сечений по эпюрам нормальных и касательных напряжений отметим те точки, в которых эти напряжения одновременно будут большими. Для найденных таким образом точек определим главные напряжения.

Эпюры Q и M z приведены на рис. 7.21. Опасным является сечение В , где поперечная сила и изгибающий момент имеют значения Q y - -70 кН; М г = -100кНм.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для опасного сечения. Нормальные напряжения в верхних волокнах равны

На уровне примыкания полок к стенке {у = -13,93 см)

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси

Касательные напряжения в стенке на уровне сопряжения с полкой

По найденным значениям а и т построены эпюры нормальных и касательных напряжений (см. рис. 7.46). Из этих эпюр видно, что в стенке в местах сопряжения с полками балки напряжения а и т имеют одновременно большие значения. В этих местах определим главные напряжения. Для верхней части сечения имеем

Таким образом, в рассматриваемом примере главные напряжения в опасных точках не превосходят нормальных напряжений в крайних волокнах.

Продольное усилие

При выводе расчетных формул для определения нормального напряжения, делается следующее предположение: продольная ось не меняет своей длинны при изгибе, продольные линии изгибаются по радиусу. Контуры поперечных сечений плоские до нагружения остаются плоскими и после нагружения; линии контура сечений всюду перпендикулярны продольной оси.

Существует слой, который не меняет своей длинны при изгибе- он называется нейтральным слоем.

При пересечении нейтрального слоя поперечным сечением, получаем нейтральную линию.

При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным силовой плоскости и значит нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии сечения.

Выберем теперь двумя поперечными сечениями элемент балки длинной dx.

Относительная деформация волокна равна разности между длинами волокон

Рассмотрим волокно a 0 b 0 , принадлежащее нормальному слою, его длина равняется отрезкуdx, после деформации отрезок превращается в дугуa 0 ’b 0 ’=

Волокно нейтрального слоя не меняет своей длины при деформации => dx=, подставляя это выражение в формулу для относительной деформации

по закону Гука, сравнивая эти выражения =>, здесь у- расстояние от нейтральной линии до точки, где определяется это напряжение, подставляя это выражение в выражение для момента:

В случаи поперечного изгиба расчет нормальных напряжений производится по той же формуле, что и для чистого изгиба, поскольку разница в результатах практически нулевая, а возникающее касательное напряжение может достигать больших величин, и определяется при изгибе с помощью формул Журавского.

1. Определение касательного напряжения при поперечном изгибе

При поперечном сечении поперечные усилия Qи изгибающие моменты, возникает не только нормальное, но и касательное напряжение

Вывод формулы для определения касательных напряжений рассмотрим на балке с поперечным сечением

Эти предположения справедливы в том случае, если ширина сечения bзначительно меньше, чемh.

Отмечаем часть элемента балки проведя горизонтальную плоскость mmна расстоянии у от нейтральной линии

На гранях A 1 A 2 m 2 m 1 ,C 1 C 2 n 2 n 1 иA 1 A 2 C 2 C 1 напряжений никаких нет, т.к. эти грани являются частью наружной поверхности балки.

Необходимо вычислить равнодействующую нормальных напряжений распределенных по грани A 1 C 1 m 1 n 1 на элементарную площадкуdF=bd, проведенную параллельно осиzна расстоянииот нее действует нормальная осевая сила

1. Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки

Аналогично на грани A 2 C 2 n 2 m 2 равнодействующая нормальных напряжений отбудет равняться:

величина статического момента отсеченной плоскости будет такой же, как и в предыдущем выражении.

В грани n 1 n 2 m 1 m 2 действует нормальное напряжение, поскольку при поперечном изгибе волокна давят друг на друга, но этими напряжениями пренебрегают как несущественными для расчета на прочность.

Кроме того согласно закону парности касательных напряжений, возникают касательные напряжения в перпендикулярном направлении по ЗПКН

Т.к. длина грани n 1 n 2 m 1 m 2 мала, т.е. равнаdx, можно считать, что-равномерно распределены по этой грани.

Условие равновесия параллелепипеда: a 1 a 2 c 2 c 1 n 1 n 2 m 2 m 1

Если разделить полученное равенство на bdx, то:- Формула Журавского,

Которая позволяет определить величину касательного напряжения при поперечном изгибе на любом уровне поперечного сечения