Колебание струны. Стоячие волны
59.Стоячие волны. Колебания струны.
Стоя́чая волна́ - колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе - волны Шумана.
Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.
Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.
Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения точки xв момент времени t.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения
перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t) (смотри рисунок) .
Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.
Уравнение колебаний струны.
а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.
Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны
Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик);
Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).
60. Громкость и высота тона звука.
Звуковые волны – продольные.
сейсмические – поперечные и продольные
20 – 20000 Гц > …..
инфра ультра
звук звук
Тон – звук одной частоты.
Обертон – дополнительная частота.
Тембр – оттенок звука.
Шум – много частот.
Громкость звука зависит от амплитуды колебаний.
Высота звука зависит от частоты колебаний.
61. Эффект Доплера.
Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника. Его легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, тот услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.
Для волн, распространяющихся в какой-либо среде (например, звука) нужно принимать во внимание движение как источника так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, имеет значение только относительное движение источника и приёмника.
Эффект был впервые описан Кристианом Доплером в 1842 году.
Также важен случай, когда в среде движется заряженная частица с релятивистской скоростью. В этом случае в лабораторной системе регистрируется черенковское излучение, имеющее непосредственное отношение к эффекту Доплера.
Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа - ниже (меньше), другими словами, если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется - длина волны увеличивается.
| " |
Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Фурье имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения примерами, мы начнем с классической задачи о колебании струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции.
Под струной мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить. Пусть такая струна, длины закреплена концами в точках оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии вдоль этой оси (рис. 138). Представим себе, что в момент струна выводится из положения равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении.
Тогда точки струны начнут колебаться в вертикальной же плоскости. Если допустить, что каждая точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных
Задача и состоит в определении этой функции.
Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и малы (так что струна незначительно отдаляется от положения равновесия и остается пологой); это дает нам право пренебрегать квадратами этих малых величин.
Возьмем элемент струны в момент времени t (см. рис.); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине в начальный момент, ибо
Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным.
На выделенный элемент струны действует в точке М натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке - такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и а обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составляющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет
Здесь мы снова воспользовались правом отбрасывать квадраты малых величин (например, положили
а затем приращение функции заменили ее дифференциалом.
Если обозначить через «линейную» плотность струны, то масса элемента будет
Тогда по закону движения Ньютона произведение массы элемента на ускорение должно равняться найденной выше силе, действующей на этот элемент:
окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных:
которое и описывает изучаемое явление.
Кроме этого уравнения, искомая функция должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего - так называемым предельным или граничным условиям:
выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент то должны выполняться и начальные условия:
Таким образом, задача сводится к разысканию такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (2) и условиям (3) и (4).
Начнем, следуя по пути, указанному Фурье, с разыскания частных решений уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям (3), но отличным от нулевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от
Уравнение (2) в этом случае принимает вид
где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или
Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая - от t, то общее значение их по необходимости не зависит ни от х, ни от t и сводится
к постоянной, которую мы возьмем в виде Тогда уравнение (5) распадается на два:
их решения «общие интегралы» имеют вид:
Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая сразу видим, что полагая же и учитывая, что уже не может быть нулем, придем к условию
откуда при натуральном Таким образом, X может иметь одно из следующих значений:
Полагая при
придем к такой последовательности частных решений:
Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить
Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что
Полагая в (8) и (9) , приходим к условиям
Отсюда, если только функции удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п° 689 и определяются, наконец, искомые
коэффициенты:
Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)!
Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции и именно, пусть функция будет дифференцируема, а функция дважды дифференцируема, причем производные и предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке Тогда имеют место такие оценки:
Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям (почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.
Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка обозначая их суммы по-прежнему через мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида при целом к. Ряд для равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что
Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна
Вся струна разбивается на равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков - в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев . Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это - так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.
Основной тон определяется первой составляющей ей отвечает частота и период Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи!
Пусть вдоль оси х навстречу друг другу распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми частотами и амплитудами:
.
Все частицы упругой среды, охваченной волновым про-цессом, будут участвовать в колебаниях, возбуждённых каждой из волн:
x = x 1 + x 2 = + .
Используя тригонометрическую формулу для суммы коси-нусов, получаем
где А (х ) = 2Acoskx .
Полученное выражение показывает, что частицы упругой среды, охваченные двумя волновыми процессами, совершают гармонические колебания с частотой w.
Амплитуда колебаний частиц среды зависит от координаты х .
В точках, координаты которых отвечают условию kx
= ± n
p, где n
= 0, 1, 2, 3... coskx
= ±1 и амплитуда колебаний частиц среды максимальна. Такие точки называются пучностями
. Координаты пучностей определяются соотношением 
.
В точках, отвечающих условию амплитуда равна нулю, т. е. частицы среды в этих точках не колеблются вообще. Такие точки называют узлами
. Координаты узлов определяются соотношением 
.
Поскольку амплитуда колебаний частиц среды определяется их координатой и не зависит от времени, постольку положение узлов и пучностей не изменяется. Узлы и пучности остаются на одном месте. Поэтому волну, возникающую в результате нало-жения встречных волн одинаковой частоты, называют стоячей .
Рассмотрим натянутую струну, концы которой жёстко за-креплены. Пусть длина струны равна l.
Допустим, что в этой струне возбуждены колебания.
Струну можно представить себе как совокупность бесконечно малых связанных между собой элементов. Колебания одного такого элемента должны вовлекать в колебательный процесс и другие элементы струны. Следовательно, если в струне возбудить колебания, то в ней возникнет упругая волна.
Конец струны жёстко закреплён, колебаться не может. Сле-довательно, он не может возбудить колебания в той среде, к ко-торой прикреплён. Поэтому волна, дошедшая до конца струны, полностью отразится.
Это означает, что по струне будут распространяться две встречные волны и .
Как показано выше, при наложении таких волн возникает стоячая волна. Это означает, что на струне с закреплёнными концами может возникнуть стоячая волна.
Поскольку мы говорим о струне с жёстко закреплёнными концами, на концах струны всегда должна быть узлы.
Из выражений для расчёта координат узлов и пучностей видно, что соседние узлы (так же как и пучности) отстоят друг от друга на l/2.
Следовательно, длина струны должна быть такой, чтобы на ней целое число раз укладывалась половина длины волны:
где n = 1, 2, 3...
Это, в свою очередь, означает, что на струне длинной l могут возникать стоячие волны лишь определённых частот
Эти частоты называются собственными частотами струны, или частотами нормальных колебаний. Колебания с такими частотами называют гармониками (колебание с частотой, соответствующей n = 1 называют первой гармоникой, n = 2 – второй гармоникой и т. д.).
Групповая скорость
В науке и технике волны широко используются для передачи информации. Однако гармоническая волна способна донести информацию лишь о том, что где-то есть источник волны.
Для того чтобы с помощью волн можно было передавать необходимое количество информации, их необходимо изменять (например, испускать волны в виде импульсов, или изменять амплитуду волны, её частоту, начальную фазу). Такая волна называется модулированной.
С помощью модулированных упругих волн определяют глубину морей и океанов (эхолот), а модулированные электро-магнитные волны позволяют осуществлять радио- и телевещание.
Но если модулированные волны отличаются от гармони-ческих способностью переносить информацию, то, возможно, им присущи и другие отличия.
Исследуем один из аспектов этой проблемы – найдём скорость, с которой модулированная волна переносит энергию.
Для этого рассмотрим две одинаково направленные плоские поперечные бегущие волны, колебания которых происходят в одной плоскости, амплитуды которых равны, а частоты почти одинаковы.
.
Эту волну можно представить в виде
,
 |
,
т. е. это волна с медленно изменяющейся амплиту-дой, или модулированная, такая же, как на рисунке.
Показанная здесь кар-тина соответствует како-му-то моменту времени. В следующий момент она сдвинется вправо.
Найдём скорость, с ко-торой модулированная волна будет распространяться. Для простоты рассмотрим точку, в которой амплитуда максимальна, – скорость перемещения этой точки равна скорости модулиро-ванной волны.
Поведение точки с максимальной амплитудой описывается выражением . Но это выражение можно трактовать как уравнение бегущей волны с циклической частотой d
w = w 1 –w 2 и волновым числом dk
= k
1 – k
2 .
Для любой бегущей волны , и w=kv . Тогда скорость точки с максимальной амплитудой будет равна
,
где v 1 и v 2 – фазовые скорость волн с циклическими частотами w 1 и w 2 соотвественно.
Если дисперсии нет, то v 1 = v 2 = v и , т. е. «гребень» такой волны перемещается с фазовой скоростью.
Если же среда диспергирующая, то и скорость 
. Это означает, что «гребень» перемещается со скоростью, отличной от v
1 и v
2 .
Если вспомнить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то легко сообразить, что бóльшая часть энергии, переносимой такой волной, сконцентрирована там, где амплитуда волны велика. Это означает, что полученная скорость u есть скорость передачи энергии.
Эту скорость u и называют групповой :
Важно отметить, что фронт волны распространяется с групповой скоростью.
Электромагнитные волны
К середине XIX в. был открыт ряд важнейших законов в области электричества и магнетизма. Значительная часть открытий в этой области принадлежит Майклу Фарадею.
Этот крупнейший учёный, по праву считающийся осново-положником современной электродинамики, как это ни странно, не знал математики.
Поэтому открытые им явления не имели математического описания.
В 1854 г. в Кембриджский университет был принят на работу только что закончивший его Джеймс Клерк Максвелл. Основной целью своей деятельности он избрал математическое описание открытий Фарадея.
Это ему удалось (см. разд. 5.6, 5.7). Один из результатов деятельности Максвелла – предсказание о существовании электромагнитных волн.
Примерно через двадцать лет после этого электромагнитные волны были получены экспериментально немецким физиком Генрихом Герцем.
Рассмотрим механизм возникновения и некоторые особенности электромагнитных волн.
Допустим, что электрическое поле в вакууме создано зарядом, совершающим гармонические колебания.
Электрическое поле, созданное таким зарядом, также должно изменяться с течением времени по гармоническому закону.
Плотность тока смещения, созданного изменяющимся электрическим полем, равна . Поскольку производная от гармонической функции является гармонической функцией, постольку ток смещения также будет изменяться по гармони-ческому закону.
Ток смещения создаёт магнитное поле
.
Интеграл от гармонической функции также является гармо-нической функцией. Следовательно, маг-нитное поле, созданное током смещения, будет изменяться по гармоническому закону.
Важно отметить, что изменение электрического и магнитного полей опи-сывается одной и той же гармонической функцией.
Ток смещения совпадает по направлению с вектором ¶Е .
Вектор индукции магнитного поля всегда перпендикулярен создавшему его току.
Это означает, что магнитное поле, созданное изменяющимся электрическим полем, будет перпендикулярно ему.
В соответствии с уравнением Максвелла о циркуляции вектора Е , изменяющееся магнитное поле порождает электри-ческое. Причём порождаемое электрическое поле будет перпен-дикулярно изменяющемуся магнитному.
Это, в свою очередь, означает, что даже если исчезнет заряд, создавший изменяю-щееся электрическое поле, изменяющиеся электрическое и магнитное поля будут продолжать распространяться в прост-растве в виде электромагнитной волны.
Более строгий анализ позволяет пока-зать, что изменяющиеся электрическое и магнитное поля описываются волновыми уравнениями:
где с – скорость света в вакууме (если электромагнитная волна распространяется в среде, то используется скорость света в этой среде).
Решение этих уравнений имеет следующий вид:
,
где амплитуды Е
и Н
связаны соотношением 
.
 |
Можно также показать, что если вектор Е па-раллелен оси х , а вектор В параллелен оси у , то электромагнитная волна распро-страняется вдоль оси z (см. рису-нок). Другими словами, векторы Е , Н и вектор скорости электро-магнитной волны с образуют правую тройку.
Важно отметить, что колеба-ния Е и Н синфазны.
Для опытов со струной удобен прибор, изображенный на рис. 98. Один коней струны закреплен, а другой перекинут через блок, и к нему можно подвешивать тот или иной груз. Таким образом, сила натяжения струны нам известна: она равна весу груза. Доска, над которой натянута струна, снабжена шкалой. Это позволяет быстро определить длину всей струны или какой-либо ее части.
Рис. 98. Прибор для исследования колебаний струны
Оттянув струну посередине и отпустив, мы возбудим в ней колебание, изображенное на рис. 99, а. На концах струны получаются узлы, посередине - пучность.
Рис. 99. Свободные колебания струны: а) с одной пучностью; б) с двумя пучностями; в) с тремя пучностями
С помощью этого прибора, меняя массу груза, натягивающего струну, и длину струны (перемещая добавочный зажим со стороны закрепленного конца), нетрудно экспериментально установить, чем определяется собственная частота колебания струны. Эти опыты показывают, что частота колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения струны и обратно пропорциональна длине струны, т. е.
Что касается коэффициента пропорциональности, то он зависит, как оказывается, только от плотности того материала, из которого сделана струна, и от толщины струны , а именно он равен . Таким образом, собственная частота колебаний струны выражается формулой
В струнных инструментах сила натяжения создается, конечно, но подвешиванием грузов, а растягиванием струны при накручивании одного из ее концов ни вращающийся стерженек (колок). Поворотом колка, т. е. изменением силы натяжения , осуществляется и настройка струны на требуемую частоту.
Поступим теперь следующим образом. Оттянем одну половинку струны вверх, а другую - вниз с таким расчетом, чтобы средняя точка струны не сместилась. Отпустив одновременно обе оттянутые точки струны (отстоящие от концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне возбудится колебание, имеющее, кроме двух узлов на концах, еще узел посередине (рис. 99, б) и, следовательно, две пучности. При таком свободном колебании звук струны получается в два раза выше (на октаву выше, как принято говорить в акустике), чем при предыдущем колебании с одной пучностью, т. е. частота равна теперь . Струна как бы разделилась на две более короткие струны, натяжение которых прежнее.
Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, делящими струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностями (рис. 99, в). Для этого нужно оттянуть струну в трех точках, как показано стрелками на рис. 99, в. Частота этого колебания равна . Оттягивая струну в нескольких точках, трудно получить колебания с еще большим числом узлов и пучностей, но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например, проводя по струне смычком в том месте, где должна получиться пучность, и слегка придерживая пальцами ближайшие узловые точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностями и т. д. имеют частоты и т. д.
Итак, у струны имеется целый набор колебаний и соответственно целый набор собственных частот, кратных наиболее низкой частоте . Частота называется основной, колебание с частотой называется основным тоном, а колебания с частотами и т. д.- обертонами (соответственно первым, вторым и т. д.).
В струнных музыкальных инструментах колебания струн возбуждаются либо щипком или рывком пластинкой (гитара, мандолина), либо ударом молоточка (рояль), либо смычком (скрипка, виолончель). Струны совершают при этом не одно какое-нибудь из собственных колебаний, а сразу несколько. Одной из причин того, почему разные инструменты обладают различным тембром (§ 21), является как раз то, что обертоны, сопровождающие основное колебание струны, выражены у разных инструментов в неодинаковой степени. (Другие причины различия тембра связаны с устройством самого корпуса инструмента - его формой, размерами, жесткостью и т. п.)
Наличие целой совокупности собственных колебаний и соответствующей совокупности собственных частот свойственно всем упругим телам. Однако, в отличие от случая колебания струны, частоты обертонов, вообще говоря, не обязательно в целое число раз выше основной частоты.
На рис. 100 схематически показано, как колеблются при основном колебании и двух ближайших обертонах пластинка, зажатая в тиски, и камертон. Разумеется, на закрепленных местах всегда получаются узлы, а на свободных концах - наибольшие амплитуды. Чем выше обертон, тем больше число дополнительных узлов.
Рис. 100. Свободные колебания на частоте основного тона и двух первых обертонов: а) пластинки, зажатой в тиски; б) камертона
Говоря ранее об одной собственной частоте упругих колебаний тепа, мы имели в виду его основную частоту и попросту умалчивали о существовании более высоких собственных частот. Впрочем, когда речь шла о колебаниях груза на пружинке или о крутильных колебаниях диска на проволоке, т. е. об упругих колебаниях систем, у которых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск), а деформации и упругие силы - в другом (пружина, проволока), то для такого выделения основной частоты имелись все основания. Дело в том, что в таких случаях частоты обертонов, начиная уже с первого, во много раз выше основной частоты, и поэтому в опытах с основным колебанием обертоны практически не проявляются.
На рис.3 представлены типичные зависимости квадрата частот колебаний струны от силы натяжения для различных гармоник n . Наблюдение cобcтвенныx колебаний cтpуны затpуднено, так как они отноcительно быcтpо затуxают. Поэтому в pаботе pаccматpиваютcя колебания, возбуждаемые поcтоянно дейcтвующей пеpиодичеcкой вынуждающей cилой.
Уcтановка (pиc. 4) состоит из металличеcкой рамы, состоящей из двух направляющих труб (1) , закрепленных на определенных расстояниях с помощью брусков (2) . На одном из брусков (2) установлена стойка (3) предназначенная для закрепления одного конца струны (4). На другом бруске (2) установлено устройство А , служащее для изменения натяжения струны и состоящее из пружинного динамометра (5) и узла его перемещения (6) . К пружине динамометра закреплен другой конец струны (4) . Сила натяжения изменяется ручкой (7) , а измеряется пружинным динамометром (5) . На направляющих трубах (2) укрепляются на определенных расстояниях бруски с установленными на них элементами. Стойками (8) устанавливается рабочая длина струны (4) . Длина струны между двумя закрепленными ее концами, равная расстоянию между стойками (8) измеряется линейкой (9) , находящейся на одной из труб. Колебания струны возбуждаются с помощью электромагнитного вибратора (10) , питаемого переменным током от генератора (11) , который имеет встроенный частотометр. Эле ктромагнитный вибратор (10) заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой генератора (11) . Амплитуда колебаний регистрируется электромагнитным датчиком (12) , соединенным с вольтметром (13) . Величина сигнала, выдаваемого электромагнитным датчиком, зависит от его расстояния до струны. Это изменение осуществляется с помощью винта (14) . Аналогичное устройство используется для регулировки расстояния между вибратором и струной. Расстояние между струной и вибратором меняется с помощью винта (15) , при этом изменяется амплитуда вынужденных колебаний струны.
Проведение эксперимента
Упражнение 1.
Установление зависимости частот собственных колебаний от силы натяжения струны.
Cила натяжения P
опpеделяет cкоpоcть pаcпpоcтpанения
возмущения вдоль cтpуны (2) и, cледовательно,
чаcтоту cобcтвенныx колебаний (19). В этом
упpажнении экcпеpиментально опpеделяетcя
xаpактеp завиcимоcти v n
от cилы натяжения cтpуны P
.
Измерения
Стойками (8) установите максимальную кратную 10 см длину струны. Натяните струну с силой 2 кГс (1 кГс=9.8 Н). Вибратор установите в положение, отстоящее на 10 см от закрепленного конца струны. Установите датчик приблизительно в 10 см от середины струны.
Изменяя частоту генератора ручкой "грубо" (начиная от нулевого значения по его школе) зафиксируйте максимальное отклонение стрелки вольтметра, регистрирующего амплитуду колебаний струны. При этом частота колебаний струны, установленная по шкале встроенного в генератор есть "грубое" значение экспериментально установленной резонансной частоты. Для определения точного значения величины v эксп воспользуйтесь шкалой "плавно" генератора. Поворачивая вправо или влево ручку генератора "плавно" добейтесь максимального отклонения стрелки (если при этом стрелка выходит за предел шкалы, увеличивайте диапазон измерений вольтметра ручкой "диапазон"). Запишите показание встроенного частотомера. Это значение резонансной частоты.
Установите, какой из гармоник соответствует данное колебание. Для этого не изменяя частоту генератора, перемещая датчик вдоль струны, определите количество узловых точек (при нахождении датчика под узловой точкой его сигнал равен нулю). Номер гармоники n колебания опpеделяетcя по фоpмуле n = N + 1 , где N - число узлов (не считая точки закрепления).
Увеличивая частоту колебаний, описанным выше образом, чтобы установите резонансные частоты для последующих четырех гармоник. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.
Установите значения нормальных колебаний первых гармоник для различных значений натяжения струны P . Для этого в области частот нормальных колебаний для соответствующих гармоник, установите частоты при которых наблюдаются максимальные колебания (по вольтметру) струны для сил ее натяжения равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.
С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот v теор нормальных колебаний для пяти первых гармоник при натяжениях струны равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Результаты расчетов внесите в табл.1.
Постройте теоретические зависимости квадрата частоты v 2 теор от силы натяжения P для пяти первых гармоник колебаний. Они должны быть подобны показанным на рис.3.
Отметьте на теоретических зависимостях квадраты экспериментально установленных значений частот пяти первых гармоник нормальных колебаний для разных величин P . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 2 n для нормальных колебаний.
Таблица 1
| P , кГс | 1-я гармоника | 2-я гармоника | 3-я гармоника | 4-я гармоника | 5-я гармоника | |||||
| v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | |
| 2 | ||||||||||
| 3 | ||||||||||
| 4 | ||||||||||
| 5 | ||||||||||
| 6 | ||||||||||
| 7 | ||||||||||
Упражнение 2. Определение зависимости номера гармоники колебания от натяжения струны.
Из рис. 3 видно, что значение
v 2
(а следовательно и частоты нормальных
колебаний) для разных гармоник могут
принимать одинаковые значения при определенных
величинах силы натяжения струны P
.
Поэтому меняя силу натяжения струны можно
наблюдать различные гармоники нормальных
колебаний на одной и той же частоте.
В данном упражнении за счет изменения
силы натяжения струны проводят наблюдение
различных гармоник нормальных колебаний
на одной и той же частоте.
Измерения
Натяните струну с силой 2 кгс и найдите 5-ю гармонику по методике, описанной в упр.1.
Не меняя частоты генератора и увеличивая натяжение струны определяют значения P , при которых наблюдаются максимальные значения амплитуд колебаний. По методике, описанной в упр.1 устанавливают число узловых точек и соответственно номера гармоник для данных нормальных колебаний.
Найденные значения сил натяжения и соответствующие им номера гармоник занесите в табл.2.
Таблица 2
Обработка результатов
Постройте график зависимости n от P .
Упражнение 3. Опpеделение завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний от длины cтpуны.
Измерения
Установите силу натяжения струны 3кГс.
Используя методику, описанную в упр.1 определите значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний. Результаты занесите в табл.3
Изменяя длину струны (уменьшая каждый раз ее длину примерно на 20 %) определите значения частот 1 и 2 гармоник ее собственных колебаний. Результаты эксперимента занесите в табл.3
Таблица 3
| L , см | 1/L , см -1 | 1-я гармоника | 2-я гармоника | ||
| v эксп | v теор | v эксп | v теор | ||
Обработка результатов
С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний струны при тех ее длинах, для которых получены экспериментальные результаты. Результаты занесите в табл.3.
Постройте теоретические зависимости v 1,2 от величины, обратной длине струны 1/L .
Отметьте на теоретических зависимостях экспериментально установленные значения частот 1 и 2 гармоник нормальных колебаний для разных значений 1/L . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 1,2 для нормальных колебаний.
В xоде pаботы должны быть экcпеpиментально получены завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний cтpуны от cилы натяжения и длины. Результаты должны быть cопоcтавленны c теоpетичеcки pаccчитанными завиcимоcтями для извеcтной линейной плотноcти cтpуны.
Контрольные вопросы
Что такое свободные, вынужденные, собственные и нормальные колебания системы?
Сколько степеней свободы имеет натянутая струна, сколько нормальных колебаний в ней может быть возбуждено?
Вывести волновое уравнение.
Вывести связь между частотой нормального колебания, длиной струны и скоростью распространения волны в струне.
Что происходит в струне, когда частота внешнего сигнала выбрана произвольно (не обязательно равной одной из собственных частот)?
Стрелков С.П. Механика, М. Наука, 1975, гл.15, § 143.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1. Механика. М. Наука, 1989, § 84.